冲刺小练习8：三角形的中位线问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

17 冲刺小练习 8：三角形的中位线问题 ➢ 图态剖析 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若 DE为△ABC 的中位线,则 DE∥BC， 几何语言：∵D、E分别为 AB、AC的中点（AD=DB，AE=EC），∴DE∥BC， . ➢ 模型引申： 条件：△ABC中，D为 BC的中点 题型引申：延长 BA 至 AB′，使得 AB′=AB，连接 B′C，则 AD为△BB′C的中位线 ➢ 典型练习 1．如图 1，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=√7，点 M、N分别为线段 BC、AB上的 动点，点 E、F分别为 DM、MN的中点，则 EF长度的最大值为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．√7 图 1 图 2 2.如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点 E、F 分别在 CA，CB 上，且 CE=CF=1，点 M、N 分别为 AF、BE 的中点，则 MN 的长为 ． 1 2 DE BC= 1 2 DE BC= 18 3．如图 3，在等边△ABC 中，AB=2，点 D 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆上一动 点，连接 CD，取 CD 的中点 E，连接 BE，则线段 BE 的最大值与最小值之和为 图 3 图 4 4.如图 4，M 为钝角△ABC 中 BC 边的中点，经过 M 的直线 MN 将△ABC 分成了周 长相等的两部分．已知 AB=6，∠BAC=120°，则 MN= ． 5.已知正方形 ABCD与正方形 AEFG，正方形 AEFG 绕点 A旋转一周． （1）如图 1，连接 BG、CF， ①求 𝐶𝐹 𝐵𝐺 的值； ②求∠BHC的度数． （2）当正方形 AEFG旋转至图 2位置时，连接 CF、BE，分别取 CF、BE的中点 M、N，连接 MN，猜想 MN与 BE的数量关系与位置关系，并说明理由． ∵Q 为 DE 中点，△CDE 为直角三角形， ∴CQ= 1 2 DE=QE，∴△GQE 的周长=QG+GE+EQ=2+QP+CQ≥2+CP， 由勾股定理得：CP=√42 + 22=2√5，当且仅当 P、Q、C 共线时最小，最小为 2+2√5． 冲刺小练习 8：三角形的中位线问题 ➢ 图态剖析 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若 DE为△ABC 的中位线,则 DE∥BC， 几何语言：∵D、E分别为 AB、AC的中点（AD=DB，AE=EC），∴DE∥BC， . ➢ 模型引申： 条件：△ABC中，D为 BC的中点 题型引申：延长 BA 至 AB′，使得 AB′=AB，连接 B′C，则 AD为△BB′C的中位线 ➢ 典型练习 1．如图，在四边形 ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=√7，点 M、N分别为线段 BC、AB上的动 点，点 E、F分别为 DM、MN的中点，则 EF长度的最大值为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．√7 【解】如图，连接 BD、ND， 1 2 DE BC= 1 2 DE BC= 由勾股定理得，BD=√AD2 + 𝐴𝐵2 = √(√7)2 + 32=4， ∵点 E、F分别为 DM、MN的中点，∴EF= 1 2 DN，当 DN最长时，EF长度的最大， ∴当点 N与点 B重合时，DN最长，∴EF 长度的最大值为 1 2 BD=2，故选 A． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点 E、F 分别在 CA，CB 上，且 CE=CF=1，点 M、N 分别为 AF、BE 的中点，则 MN 的长为 ． 【解】如图，取 AB 的中点 D，连接 MD、ND，如图，AE=BF=5－1=4， ∵点 M、N 分别为 AF、BE 的中点， ∴DM 为△ABF 的中位线，DN 为△ABE 的中位线， ∴DM= 1 2 BF=2，DM∥BF，DN= 1 2 AE=2，DN∥AE， ∵AE⊥BF，∴DM⊥DN，∴△DMN 为等腰直角三角形，∴MN=√2DM=2√2． 故答案为 2√2． 3．如图，在等边△ABC 中，AB=2，点 D 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆上一动 点，连接 CD，取 CD 的中点 E，连接 BE，则线段