冲刺小练习4：等腰三角形的分类问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

9 冲刺小练习 4：等腰三角形的分类问题 ➢ 知识说明 对于等腰三角形的存在性问题，在未指明腰与底的情况下，要区分所给线段是 作为等腰三角形的要还是底；在为指明顶角或底角的情况下，要区分所给角度 是等腰三角形的顶角还是底角. ➢ 典型练习 1. 如图，在 4×4 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一 个格点 C，使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是 个． 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 P 为△ABC 所在平面内一点，且点 P 与 △ABC 的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，则满足条 件的点 P 的个数为 个． 3.如图，直线 a,b 交于点 O，∠α=40°，点 A 是直线 a 上的一个定点，点 B 在 直线 b 上运动，且始终位于直线 a 的上方，若以点 O，A，B 为顶点的三角形是 等腰三角形，则∠OAB 的度数为 ． 10 4.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0， 4），过点 M 作 MN∥x 轴，点 P 在射线 MN 上，若△MAP 为等腰三角形，则点 P 的 坐标为 ． 5.如图，在四边形 ABCD 中，∠D=90°，AD∥BC，AD=8，BC=4，CD=3，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E．若动点 P 从点 A 出发，沿折线 AB－BC 以每秒 1 个单位长度的速 度向终点 C 运动，当点 P 不与点 A、B 重合时，连结 PE，作点 B 关于直线 PE 的 对称点 B′，连结 B′E、B′P，设点 P 的运动时间为 t 秒．（t＞0） （1）AB 的长为 ； （2）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长； （3）当△BEP 是以 BE 为腰的等腰三角形时，求 t 的值； 小明说：解这个关于 x 的分式方程，得到方程的解为 x=a+4．由题意可得 a+4＞ 0，所以 a＞－4，问题解决． 小聪说：你考虑的不全面．还必须保证 a≠0 才行． 请回答： 的说法是正确的，并说明正确的理由是： ． 完成下列问题： （1）已知关于 x 的方程 𝑚 𝑥−3 − 𝑥 3−𝑥 =2 的解为非负数，求 m 的取值范围； （2）若关于 x 的分式方程 3−2𝑥 𝑥−3 − 𝑛𝑥−2 𝑥−3 =－1 无解．直接写出 n 的取值范围． 【解】小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为 0； 故答案为：小聪；分式的分母不为 0，故 x≠4，从而 a≠0； （1）去分母得：m+x=2x－6， 解得：x=m+6， 由分式方程的解为非负数，得到 m+6≥0，且 m+6≠3， 解得：m≥－6 且 m≠－3． （2）分式方程去分母得：3－2x+nx－2=－x+3，即（n－1）x=2， 由分式方程无解，得到 x－3=0，即 x=3，代入整式方程得：n= 5 3 ； 当 n－1=0 时，整式方程无解，此时 n=1， 综上，n=1 或 n= 5 3 ． 冲刺小练习 4：等腰三角形的分类问题 ➢ 知识说明 对于等腰三角形的存在性问题，在未指明腰与底的情况下，要区分所给线段是 作为等腰三角形的要还是底；在为指明顶角或底角的情况下，要区分所给角度 是等腰三角形的顶角还是底角. ➢ 典型练习 1. 如图，在 4×4 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一 个格点 C，使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是 个． 【解】如图：分情况讨论： ①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点 C 点有 0 个； ②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点 C 点有 3 个． 故共有 3 个点， 故填：3 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 P 为△ABC 所在平面内一点，且点 P 与 △ABC 的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，则满足条 件的点 P 的个数为 个． 【解】如图所示， ①做线段 AB 的垂直平分线，然后以 C 为圆心，以 AC 为半径做圆，交 AB 的垂 直平分线于 P1、P2 两点，则 P1、P2 两点即为所求； ②以 A 为圆心，以 AC 为半径做圆，交 AB 垂直平分线于 P3 点，则 P3 即为所求； 所以 P 的个数为 3 综上所述，满足条件的所有点 P 的个数为 3． 故答案为：3． 3