7.4 二项式定理（十一大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7．4 二项式定理 课程标准 学习目标 （1）能利用多项式运算法则，建立二项式展开式中项的系数与组合数公式之间的联系，发现二项式定理，并能用计数原理进行解释． （2）能通过分析二项展开式的结构特征发现通项公式，并能用于解决相关问题． （3）能通过分析二项展开式的结构特征发现二项式系数的性质，能列出“杨辉三角形”，联系函数知识发现二项式系数的一些规律，并能用二项式系数的性质解决简单问题． （1）理解二项式定理的相关概念. （2）掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01 二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 【即学即练1】写出的展开式． 知识点02 二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 【即学即练2】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的常数项为 . 知识点03 二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 【即学即练3】（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是 . 题型一：二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】（2024·高二课时练习）（1）求的展开式； （2）化简． 【典例1-2】（2024·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【变式1-1】（2024·高二课时练习）求的展开式． 【变式1-2】（2024·高二课时练习）求的展开式． 【方法技巧与总结】 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 题型二：二项式系数与项的系数 【典例2-1】（2024·江苏·高二假期作业）在的展开式中，项的系数为 ． 【典例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考期末）展开式中常数项为 .（用数字作答） 【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）的展开式中含项的系数为 . 【变式2-2】（2024·江苏镇江·高二统考期末）在展开式中，项的系数为 . 【方法技巧与总结】 （1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为． 题型三：展开式中的特定项 【典例3-1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【典例3-2】（2024·山西朔州·高二校考阶段练习）已知二项式的展开式中，后三项的二项式系数之和为37，展开式中的第四项为 . 【变式3-1】（2024·北京石景山·高二统考期末）二项式的展开式中存在常数项，则可以为 ．（只需写出一个符合条件的值即可） 【变式3-2】（2024·全国·高二开学考试）写出展开式中的一个有理项为 . 【变式3-3】（2024·高二单元测试）展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为 ． 【方法技巧与总结】