9.1 线性回归分析（九大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

9．1 线性回归分析 课程标准 学习目标 （1）结合实例，体会两个变量间的相关关系. （2）能结合实例，根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系. （3）在真实情景中，能建立一元线性回归模型刻画随机变量之间的线性相关关系，能运用最小二乘法估计一元线性回归模型中的参数值，能利用建立的一元回归模型进行预测，从而解决实际问题, 发展数据分析、数学建模、逻辑推理等素养. （1）掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断. （2）了解两个变量间的相关系数r，能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小． （3）了解最小二乘法原理，会求线性回归方程，并能根据线性回归方程进行预测． 知识点01 变量的相关性 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4、相关系数的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：． 【即学即练1】（2024·高三·全国·专题练习）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，其相关系数 （结果保留两位小数）. 知识点02 线性回归方程 1、一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 2、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 3、残差的概念 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 4、刻画回归效果的方式 （1）残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． （2）残差平方和法 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． 【即学即练2】（2024·高二·辽宁辽阳·期末）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则 ． 题型一：相关关系的理解 【典例1-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，两个变量具有相关关系的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【典例1-2】（2024·高二·河南省直辖县级单位·期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（    ） A．人所站的高度与视野 B．人眼的近视程度与身高 C．正方体的体积与棱长 D．某同学的学籍号与考试成绩 【变式1-1】（2024·高二·全国·课时练习）下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．某正方形的边长与此正方形的面积 C．每亩施肥量与粮食亩产量 D．人的身高与体重 【变式1-2】（2024·高一·河南省直