3.3 复数的几何表示（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版）

3．3　复数的几何表示 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题． 3．理解共轭复数的概念，并会求共轭复数． 4．了解复数加减法的几何意义，并能解一些简单的应用问题． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)复数的几何意义 1．复平面的定义 建立直角坐标系与全体复数建立_________关系的平面叫作复平面，x轴叫作_____，y轴叫作_____．实轴上的点都表示_____．除_____外，虚轴上的点都表示纯虚数． 一一对应 实轴 虚轴 实数 原点 2．复数的几何意义 [基点训练] 1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　 ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 答案：A 答案：C 绝对值 －b 共轭复数 a－bi z 相互共轭 答案：C 答案：AC 答案：C　 答案：4－4i 题型(一)　复数与复平面内的点、向量的关系   [典例1]　(1)已知z＝(2＋i)i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　(1)C　(2)－6－8i [方法技巧] 1．利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 2．复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． [针对训练] 1．已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点： (1)位于第四象限； (2)在实轴负半轴上； (3)位于上半平面(含实轴)? [方法技巧] 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [针对训练] 2．设z∈C，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是(　 ) A.5π B．9π C．16π D．25π 答案：C　 解析：满足条件|z|＝3的复数z在复平面内对应 的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆．满足 条件|z|＝5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是 以原点为圆心，半径为5的圆，则在复平面内3≤ |z|≤5所表示的区域为圆环，如图中阴影部分区域所示，在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52－32)＝16π.故选C. 答案：BD　 [方法技巧] 1．用复数加减法的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B(O，A，B不共线)，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [针对训练] 5．已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　 ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：A　 解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，所以P为△ABC的外心． 2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为(　 ) A．0 B．－5 C．－5i D．5 (二)复数的模与共轭复数 1．复数的模 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模________称为复数z的模，也称z的________，记作|z|，即|a＋bi|＝________. 2．模的几何意义 |z|＝表示点(a，b)到原点的距离． 3．共轭复数 (