12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

第 2 课时　复数的乘方与除法运算 (概念课—逐点理清式教学) 1 2 目 录 3 逐点清(一)　复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 逐点清(二)　复数的除法 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 2 [多维度理解] 1．复数乘法的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝_____，(zm)n＝____，(z1z2)n＝____. 2．in(n∈N*)的周期性 一般地，如果n∈N*，那么我们有i4n＝__，i4n＋1＝__，i4n＋2＝___，i4n＋3＝___. 逐点清(一)　复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 zm＋n zmn 1 i －i 微点助解 (1)在复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整数指数幂的运算律是一致的． (2)由i的正整数指数幂的含义易知，对于4个连续的正整数a，b，c，d，都有ia＋ib＋ic＋id＝0. [细微点练明] 1．已知i为虚数单位，若实数a使得ai＋a2(i2 023＋1)－1为纯虚数，则a＝(　 ) A．－1 B．1 C．±1 D．2 答案：A　 3．i3(3＋2i)＝(　 ) A．2＋3i B．2－3i C．－2＋3i D．－2－3i 答案：B 逐点清(二)　复数的除法 微点助解 (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简． 2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　 ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案：A　 解析：∵z(2－i)＝11＋7i， 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 [典例]　在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　　 [针对训练] 1．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________． 2．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． zz. －1 解析：因为i2 023＝i505×4＋3＝i3＝－i，所以原式＝ai＋a2(－i＋1)－1＝a2－1＋(a－a2)i为纯虚数．所以解得a＝－1. 2．若i为虚数单位，则12的值为(　 ) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：B 解析：　12＝＝＝i6＝(i2)3＝－1. 答案：B　 解析： i3(3＋2i)＝－i(3＋2i)＝2－3i. 4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　 ) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：因为复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，所以解得a＝1.所以＝＝＝＝－i. 5．已知复数z＝i2 022＋i2 023，则z的共轭复数＝(　 ) A．－1＋i B．1－i C．1＋i D．－1－i 答案：A　 解析：因为z＝i2 022＋i2 023＝(i2)1 011＋(i2)1 011·i＝(－1)1 011＋(－1)1 011·i＝－1－i，所以＝－1＋i. [多维度理解] 1．复数的除法 我们把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi (c＋di≠0)的复数x＋yi(x, y∈R)叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作_____或_____________． 2．复数的除法法则 一般地，＝＝________________. (a＋bi)÷(c＋di) ＋i (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a＋bi)÷(c＋di)＝ ＋i. (3)常用公式 ①＝－i；②＝i；③＝－i；④＝(2≠0)． [细微点练明] 1.＝(　 ) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案：D 解析： ＝＝＝2－i. ∴z＝＝＝＝3＋5i. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　 ) A．－i B．i C．0 D．1 答案：A　 解析：因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i，故选A. 4．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　 ) A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0 C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0 答案：D　 解析： z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0. 5．已知i是虚数单位，则复数(1－i)2－－4i2 019＝________. 解析：原式＝－2i－＋4i ＝－2i－＋