10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

1.进一步掌握两角和与差的正弦公式，会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等． 2．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 第 2 课时　两角和与差的正弦的应用 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1 2 目 录 3 题型(一)　给值求角 题型(二)　证明恒等式 题型(三)　角的变换 2 题型(一)　 给值求角 [典例2]　已知3sin β＝sin(2α＋β)，求证tan(α＋β)＝2tan α. [证明]　由已知得 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝2tan α. 题型(二)　证明恒等式 [方法技巧] 解决有关的证明问题，首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系)，确定证明的方向，然后利用公式证明．　 题型(三)　 角的变换 [方法技巧] 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．　　 [典例1]　已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α－β＝________. [解析]　因为α，β均为锐角， 且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 又因为α，β均为锐角， 所以－<α－β<.故α－β＝－. [答案]　－ [变式拓展] 　将本例中条件“sin α＝”改为“sin α＝”，其余条件不变，求α＋β的值． 解：∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. 又∵0<α＋β<π， ∴α＋β＝. [方法技巧] 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．　　 [针对训练] 1．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________. 解析：依题设得＝sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.又cos α＝，∴sin α＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，∴β＝. 答案： [针对训练] 2．证明：＝tan(α＋β)． 证明： ＝ ＝＝ ＝tan(α＋β)， 所以原式得证． [典例3]　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α，sin 2β. [解]　∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<. 又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， ∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－. ∴sin 2α＝sin ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－， sin 2β＝sin ＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝－. [针对训练] 3．已知0<α<，－<β<0，cos α＝，cos＝. (1)求cos的值； (2)求sin的值． 解：(1)因为0<α<，cos α＝， 所以sin α＝. 所以cos＝cos αcos－sin αsin ＝×－×＝. (2)因为0<α<，所以<α＋<. 所以sin＝. 因为－<β<0，所以<－<. 所以sin＝. 所以sin＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝. $$