9.4 向量应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法． 2．能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法． 9.4 　向量应用(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1 2 目 录 3 题型(一)　平面向量在物理中的应用 题型(二)　向量在平面几何证明中的应用 题型(三)　利用平面向量求几何中的长度问题 2 题型(一)　平面向量在物理中的应用 [答案]　B [方法技巧]　 向量方法解决物理问题的步骤 [针对训练] 1.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感受到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感受到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． [典例2]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE. 题型(二)　向量在平面几何证明中的应用 [方法技巧] 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直．　　 (2)常用的两个方法,①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. [针对训练] 3．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 　 题型(三)　利用平面向量求几何中的长度问题 [针对训练] 4.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． [典例1]　(1)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为60 m/s，则鹰的飞行速率为(　 ) A．20 m/s B．40 m/s C．60 m/s D．30 m/s (2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示． ①求F3的大小； ②求F2与F3的夹角． [解析]　(1)如图，＝v1表示鹰在地面上的影子的速度，＝v2表示鹰的飞行速度，由题意知，||＝|v1|＝60 m/s，且A＝30°，所以||＝|v2|＝＝40 m/s.故选B. (2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|， 因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝. ②设F2与F3的夹角为θ， 因为F1＝－(F2＋F3)，两边平方得 1＝4＋3＋2×2×cos θ，所以cos θ＝－. 所以θ＝π. 解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感受到风速为－a，设实际风速为ν，那么此时人感受到的风速为ν－a， 设＝－a，＝－2a，＝ν，因为＋＝， 所以＝ν－a，这就是感受到由正北方向吹来的风速． 因为＋＝，所以＝ν－2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时，感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|ν|＝a.所以实际风速是每小时a千米的西北风． 2.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝ 6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)． 又位移s＝(4，4)，故合力F所做的功为 W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．即合力F所做的功为24 J. [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ.同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. [典例3]　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． [解]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y