5.1.2 数列中的递推（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.掌握累加法、累乘法求数列通项公式的技巧. 3.会由数列的前n项和公式求数列的通项公式. 重点难点 重点:由递推公式、数列前n项和求数列通项公式. 难点:理解数列递推公式及数列前n项和. 1 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻_______________的关系都可以用一个_____来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 两项或两项以上 公式 (1)通项公式与递推公式的区别：①通项公式反映的是an与n的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式可直接求出an的值，而通过递推公式只能间接求出an的值． (2)利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可． 答案：B 2. 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝an－3，则a3等于 (　 ) A．－7 B．－4 C．－1 D．2 答案：A　 解析：a2＝a1－3＝－1－3＝－4，a3＝a2－3＝－4－3＝－7. (二)数列的前n项和 1．数列的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝___________________为数列{an}的前n项和． a1＋a2＋a3＋…＋an (1)对于由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的an的表达式，若令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． 1．数列{an}的前n项和Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为 (　 ) A．1 B．3 C．5 D．6 答案：C　 解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，a1＋a3＝5. 2．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________. 答案：－4n＋2 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2. 显然n＝1时符合，故an＝－4n＋2. [题点一] 由数列的递推公式求项 [典例1]　数列{an}中，a1＝1,4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)． (1)写出数列{an}的前4项； (2)请直接写出{an}的一个通项公式． 方法技巧 由递推公式写出数列的项的方法 由递推公式求数列某些项的值，只需根据题目给出的已知项的值，代入递推公式求得相邻项的值，以此类推，逐步求得所要求的项的值． 对点训练 [题点二] 由数列的递推公式求通项公式 拓展 方法技巧 1．累加法求数列通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)求通项公式． 对点训练 3．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明． 又当n＝1时，a1＝21＝2符合上式， ∴an＝2n(n∈N＋)． [典例3]　(1)已知数列{an}的前n项和为2n－1，则a5＝(　 ) A．9 B．16 C．31 D．33 (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝__________. [题点三] 数列的前n项和及应用 [解析]　(1)设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1，故a5＝S5－S4＝(25－1)－(24－1)＝16. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1; 当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1. 方法技巧 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 对点训练 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2＝a1， 故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 解：因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N＋， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N＋. 两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 整理，得nan＋1＝(n＋1)an， 答案：