5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 1. 2　数列中的递推 1. 能够根据数列中的部分项发现并写 出数列的递推关系式. 2. 会根据数列的递推关系求数列中 的项. 3. 会根据数列的递推关系用迭代法、 累加法、 累乘法求数列的通项公式. 4. 会用前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系 求数列的通项公式. 　 要点 1　 数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项), 且 数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式来表示, 则称这个公式为数列的递 推关系(也称为递推公式或递归公式) . 　 　 思考　 递推公式与通项公式有什么联 系和区别? 例 1 　 写出下列数列的一个递推关系 式, 并求出各个数列的第 7 项. (1) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , …; (2) 2, 3, 5, 8, 12, …; (3) 2, 3, 5, 9, 17, …. 　 　 分析　 考虑相邻两项的差或比的关系 即可得到. 解: (1) ∵ a2 a1 = 1 2 1 = 1 2 , a3 a2 = 1 4 1 2 = 1 2 , a4 a3 = 1 8 1 4 = 1 2 , a5 a4 = 1 16 1 8 = 1 2 , ∴ an+1 an = 1 2 , 即 an+1 = 1 2 an, 从而 a7 = 1 2 a6 = 1 4 a5 = 1 4 × 1 16 = 1 64 . (2) ∵ a2 -a1 = 3-2 = 1, a3 -a2 = 5-3 = 2, a4 -a3 = 8-5 = 3, a5 -a4 = 12-8 = 4, ∴ an+1 -an =n, 从而 a7 =a6 +6 =a5 +5+6 = 12+11 = 23. (3) ∵ a2 -a1 = 3-2 = 1, a3 -a2 = 5-3 = 2, a4 -a3 = 9-5 = 4, a5 -a4 = 17-9 = 8, ∴ an+1 -an = 2n -1, 从而 a7 = a6 +25 = a5 +24 +25 = 17+16+32 = 65. 如图 1, 将正三角形的每一条边三等 分, 并以每一条边上居中的一条线段为边向 外作正三角形, 便得到第 1 条 “雪花曲线” (如图 2 的实线部分) . 对第 1 条 “雪花曲 线” 的边重复上述作法, 便得到第 2 条 “雪 花曲线” (如图 3), 这样一直继续下去, 得 到一系列的 “雪花曲线” . 设第 n 条 “雪花 曲线” 有 an 条边, 则 a1 = 　 　 　 　 , a2 = 　 　 　 　 , 数列{an}的递推公式为　 　 　 　 . 图 1 　 图 2 　 图 3 　 … 图 5-1-2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 　 要点 2　 根据数列的递推关系求数列的项 例 2　 设数列{an}中, a1 = 2, an + 1 an-1 = 1(n≥2 且 n∈N∗) , 则 a2 021 = (　 　 ) A. -1　 　 　 　 　 　 B. 1 2 C. 2　 　 D. 3 2 　 　 分析　 根据数列递推关系式求解数列 的周期, 再利用数列的周期性求解数列 的项. 解析: 由已知得 an = 1- 1 an-1 , 可求 a2 = 1 2 , a3 = -1, a4 = 2, ∴ 数列{an}的周期为 3, a2 021 = a2 = 1 2 , 故选 B. 已知数列 {an} 满足 a1 = 2, an+1 -an +1 = 0(n∈N+), 则此数列的通项公式 a10 等于 (　 　 ) A. 13 B. 11 C. -9 D. -7 　 要点 3　 由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式常用的方法有: (1) 归纳法: 从特例入手, 归纳、 猜 想数列的通项公式, 一般是依次写出前几 项, 观察项与项的序号的关系, 从中寻找规 律写出通项公式; (2) 从一般入手, 根据 递推公式, 充分运用迭代、 累加、 累乘、 化 归等常用方法推导出通项公式. 例 3　 已知 a1 = 2, an+1 = an+ln 1+ 1 n( ) (n ∈N+), 则数列{an}的通项公式为　 　 　 　 . 　 　 分析