11.1.6 第2课时 球的表面积和体积(深化课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的表面积与体积公式解决实际问题． 3．掌握球的切、接问题，并能准确确定球心． 第 2 课时　球的表面积和体积 (深化课—题型研究式教学)　 课时目标 1 2 目 录 题型(一)　球的截面问题 题型(二)　与球有关的切、接问题 2 题型(一)　 球的截面问题 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积 3．球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆． [例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面，截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2，求该球的体积． [解]　①当两个平行截面在球心同一侧，作出球的截面图，如图所示． ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2， ∴对应的半径BD＝7 cm，AC＝20 cm. 且AB＝9 cm，设球半径为r， ②当两个平行截面在球心两侧时，作出球的截面图，如图所示． ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2， ∴对应的半径BD＝7 cm，AC＝20 cm. 且AB＝9 cm，设球半径为r， [方法技巧] (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． (2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°.∴O1是AB的中点，即O1A＝5. 题型(二) 与球有关的切、接问题 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题． (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [解]　设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示． ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)． ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示． [答案]　B [解析]　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的 中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并 延长交BC于D点，连接AO2. 角度(三)　球与旋转体的切接问题 球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　 ) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 [解析]　(1)如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB. ∴OE2＝AE·BE＝Rr. ∴球的表面积为4πOE2＝4πRr. 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 4．球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d＝. 则OA＝，OB＝， 又＝9＋， 解得r＝25 cm. ∴球的体积为×253cm3＝cm3. 则OA＝，OB＝，无解． 综上，球的体积为cm3. [针对训练] 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积及体积． 解：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心 为O1，则OO1＝R. 又OO＋O1A2＝OA2，∴2＋52＝R2. ∴R2＝100，R＝10. ∴球的表面积S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的体积V球＝πR3＝π×103＝π. 所以2r1＝a，r1＝，S1＝4πr＝πa2. 所以2r2＝a，r2＝a， 所以S2＝4πr＝2πa2. 则2r3＝a，∴r3＝a，S3＝4πr＝3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题　 特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r