11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积(强基课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

课时目标 11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时　 柱、锥、台的体积(强基课—梯度进阶式教学) 1.了解祖暅原理，了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体、球的体积公式的过程． 2.掌握利用柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．祖暅原理 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 原理解读 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等 原理图示 2．柱体、锥体、台体、球的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱 体 棱柱 V＝____ h为棱柱的高， S为棱柱的底面面积 圆柱 V＝______＝Sh r为圆柱的底面半径， h为圆柱的高， S为圆柱的底面面积 Sh πr2h Sh 续表 续表 微点助解 柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体．当S上＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式，当S上＝S下＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式．  [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三棱锥P －ABC中，VP－ABC＝VA－PBC＝VB－PAC＝VC－PAB.(　 ) (2)锥体的体积等于底面积与高的乘积．(　 ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　 ) (4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等，则它们的体积比为3∶1.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 答案：A 答案：B 4．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的高h＝4， 答案：12π 5．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是__________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 不妨令ab＝2，ac＝6，bc＝9， ∴(abc)2＝108. 题型(一)　棱柱与圆柱的体积 (2)已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则它的体积为(　 ) A．4π B．8π C．12π D．16π [答案]　(1)B　(2)D (2)设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝16π. [方法技巧] 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量． [针对训练] 1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　 ) A．π B．2π C．4π D．8π 答案：B 解析：设圆柱母线长为l，底面半径为r， ∴V圆柱＝πr2l＝2π. 2．在正三棱柱ABC －A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________． 题型(二)　棱锥与圆锥的体积 [例2]　(1)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________． [解析]　(1)∵长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120， ∴CC1·S四边形ABCD＝120. [答案]　(1)10　(2)B (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解．无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体，体现了间接思维模式和化归的数学思想． 答案：B 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2， 过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后， 得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个 几何体的体积为10，则AA1＝________. 答案：3 题型(三)　棱台与圆台的体积 [解析]　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台 ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD， 则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O 为正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E， [针对训练] 5．如图所示，已知圆台的高为3，在轴截面A1ABB1中母线AA1与底面圆的直径AB的夹角为60°，AA1⊥A1B，求圆台的体积． 解：设圆台上、下底面的半径分别为r′，r，高为h， 如图，作A1D⊥AB于点D， 则h＝A1D＝3. ∵∠A1AB＝60°，∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°. 题型(四)