板块综合融会 解三角形及其综合问题(习题课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

[建构知识体系] 板块综合融会　解三角形及其综合问题 (习题课—小结评价式教学) [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显，正符合了数学建模的核心素养；解决此类问题的关键是能作出示意图，故涉及直观想象的核心素养． 2．渗透的数学思想 (1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运算求解体现了数形结合的思想． (2)用向量法推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想． (3)在求解三角形中的边角问题时，用到函数与方程思想． 1 2 目 录 3 融通点(一)　解三角形中的最值、范围问题 融通点(二)　解三角形与平面几何相结合 融通点(三)　解三角形中的结构不良题 4 融通点(一) 解三角形中的最值、范围问题 [方法技巧] 运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理．破解此类题通常有以下方法： (1)构建目标不等式．根据题干中得出的等量关系，如相等角、互补角，巧妙运用余弦定理构建等式或用正弦定理转化为边的关系，然后借助不等式知识求最值或范围；或用余弦定理搭桥，实现两个基本量的和与积，平方和与积等的转化． (2)构建目标函数．用正弦定理表示边角关系，通过消元、两角和公式、倍角公式、辅助角公式等建立关于角的函数关系式，再把问题转化为已知角的范围，求三角函数最值或值域问题．　　 由于△ABC为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°. 结合A＋C＝120°，得30°<C<90°， 融通点(二) 解三角形与平面几何相结合 [解]　(1)设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中，由余弦定理， 得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28， 即x2＋8＝12xcos B，　① 又在△ACD中，由余弦定理， 得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28， 即x2－24＝4xcos D，　② 因为B＋D＝π， 则cos D＝cos(π－B)＝－cos B， [方法技巧] 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．　　 (1)若∠DAC＝30°，求∠ADC的大小； (2)若BD＝2DC，且DC＝1，求AD的长． 融通点(三) 解三角形中的结构不良题 [例3]　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(c－2b)cos A＋acos C＝0. (1)求A； (2)从下面的三组条件中选择一组作为已知条件，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积． [解]　(1)已知(c－2b)cos A＋acos C＝0， 由正弦定理得(sin C－2sin B)cos A＋sin Acos C＝0， 化简得2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B. 解：(1)若选①： 因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C， 所以由正弦定理得(b－c)2＝a2－bc. 整理得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos(B＋C)＋1＝2cos2 A－1＋1. 即2cos2 A＋cos A－1＝0， [例1]　已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a＝ccos B＋bsin C. (1)求C的大小； (2)若△ABC为锐角三角形且c＝，求a2＋b2的最大值． [解]　(1)由a＝ccos B＋bsin C及正弦定理可得 sin Bsin C＋cos Bsin C＝sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Bsin C＝sin Bcos C， 因为B，C∈(0，π)，则sin B>0，cos C＝sin C>0，则tan C＝，故C＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2， 所以a＝2sin A，b＝2sin B＝2sin(A＋C)＝2sin， 所以a2＋b2＝4sin2A＋4sin2＝4×＋4× ＝2－2cos 2A＋2－2cos＝4－2cos 2A－2 ＝4－2cos 2A＋cos 2A＋sin 2A＝sin 2A－cos 2A＋