9.2 正弦定理与余弦定理的应用(深化课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．认识实际测量中的有关名称和术语． 2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题．　　 9．2　正弦定理与余弦定理的应用 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1 2 目 录 3 题型(一)　距离问题 题型(二)　高度问题 题型(三)　角度问题 2 题型(一)　 距离问题 [例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 　 [方法技巧] 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．　　 答案：A 题型(二) 高度问题 [例2]　如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m， 在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在 B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足， 求山高CD. [方法技巧] 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　 题型(三)　 角度问题 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. 　 [解析]　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M， 作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得 [方法技巧] (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量． 而θ<60°，∴θ＝30°. ∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝ ＝10(m)． ∴A，B两点间的距离为10 m. [解]　由正弦定理得AC＝ ＝＝＝10(1＋)(m)， BC＝＝＝20(m)． [针对训练] 1.如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD是15(＋1)，则此时峡谷的宽度BC是(　 ) A．60　 B．60(＋1)　 C．30　 D．30(＋1) 解析：由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，∴CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，∴BC＝CD－BD＝60.故选A. [解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD. 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 得AD＝＝＝800(＋1)(m)． 由＝， 即山的高度为800(＋1)m. [针对训练] 2．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器 的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在 A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠AHC＝90°－30°＝60°. 由＝，得CH＝AC·＝140(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 解：设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m. 在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10 000＋x2－100x， 解得x＝420. DF＝＝＝10(m)， DE＝＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m)． 在△DEF中，由余弦定理的推论，得cos∠DEF＝ ＝＝－. [答案]　－ [针对训练] 3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile