9.1.2 第2课时 余弦定理的综合应用(深化课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

第 2 课时　余弦定理的综合应用 (深化课—题型研究式教学) 1 2 目 录 3 题型(一)　利用余弦定理证明等式 题型(二)　余弦定理与平面向量相结合 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 2 题型(一)　 利用余弦定理证明等式 [例1]　已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． [证明]　在平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＋∠DAB＝π，cos∠ABC＋cos∠DAB＝0. 在三角形ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠ABC. 在三角形ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB. 所以AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2－2AB·AD·(cos∠ABC＋cos∠DAB)＝2(AB2＋AD2)． [方法技巧] 利用余弦定理证明等式的关键是掌握余弦定理及其变形，灵活应用公式进行转化，有时会涉及正弦定理及三角恒等变换． 题型(二) 余弦定理与平面向量相结合 [答案]　D [方法技巧] 解决余弦定理与平面向量相结合问题时，首先要弄明白要求的量与向量式的关系，进而利用向量关系求出需要的值，再解三角形． 答案：C 题型(三)　 正、余弦定理的综合应用 ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B. [方法技巧] 边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径．一般地，若条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角．通过边角互化，可使边角关系具体化． ＝ [针对训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，证明：＝. 证明：因为＝＝1－cos A ＝1－＝ ＝ ＝＝， 所以＝. [例2]　在△ABC中，∠BAC为锐角，||＝2||，且对于t∈R，|－t|的最小值为||，则cos∠ABC＝(　 ) A.　　　 B. C．－　　　 D．－ 又∠BAC为锐角，故cos A＝. [解析]　因为|－t|2＝2＋t22－2t·＝c2＋b2t2－2tbccos A， 当t＝＝时，|－t|2取最小值， 则c2－c2cos2A＝c2，所以cos2A＝. 因为||＝2||，所以b＝2c. 所以cos A＝＝＝， 得a＝c.所以cos B＝＝＝－. [针对训练] 2．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝2，则△ABC的面积为(　 ) A. B. C．1 D．2 解析：由余弦定理得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 又·＝2， 所以bccos A＝2，则bc＝4. 所以S△ABC＝bcsin A＝1. [例3]　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 得－＝1， 化简得－＝1. [解]　(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2，故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. [针对训练] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝， 所以c＝. 解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7， 所以tan B＝＝. 在△ABD中，由正弦定理，得＝， 所以sin B＝＝， 所以cos B＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－， (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝， 整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，得BD＝，所以a＝2. 则由解得b＝c＝2. 所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc ＝bc＝ ＝， 解得bc＝4. $$