9.1.2 第1课时 余弦定理(强基课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

课时目标 9.1.2　余弦定理 第 1 课时　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2.掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 其他两边的平方和减去这两边与 它们夹角余弦的积的2倍 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 微点助解 (1)余弦定理的另外一种常见变式： 2bccos A＝b2＋c2－a2， 2cacos B＝c2＋a2－b2， 2abcos C＝a2＋b2－c2. (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 答案：D 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　 ) A．60° B．45° C．120° D．30° 答案：C 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 4．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 题型(一)　已知两边及一角解三角形 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 答案：C 答案：D 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 答案：A 答案：A 题型(三)　判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． [解]　将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 [方法技巧] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． [针对训练] 5．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． 解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1. 又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，sin A＝2sin B·cos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°， ∴A＝B＝C＝60°. 故△ABC为等边三角形． 语言 叙述 三角形任何一边的平方，等于_____________________________ ______________________ 公式 表达 a2＝________________，b2＝_________________，c2＝_________________ 变式 cos A＝，cos B＝，cos C＝ [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　 ) A.　　　　　　　 B．8 C．10 D．7 解析：由余弦定理，得c＝＝＝7. 解析：由cos A＝＝－，且0°<A<180°，得A＝120°. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab. 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 提示：由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知， 则c2＝a2＋b2－2abcos C，c唯一，cos B＝， 因为0＜B＜π，所以B唯一，从而A也唯一． 所以三角形其他元素唯一确定． [例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由