9.1.1 第2课时 正弦定理的应用(深化课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

第 2 课时　正弦定理的应用 (深化课—题型研究式教学) 1 2 目 录 3 题型(一)　判断三角形的形状 题型(二)　正弦定理与三角形面积综合 题型(三)　正弦定理边角互化的应用 2 题型(一)　 [例1]　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 判断三角形的形状 ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． [方法技巧] (1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正弦定理是转化的桥梁． (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制． 答案：B 题型(二) 正弦定理与三角形面积综合 题型(三)　 正弦定理边角互化的应用 [例3]　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　 ) A．a＝2b 　 B．b＝2a C．A＝2B 　 D．B＝2A [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧] 解三角形时应灵活掌握边角关系，利用正弦定理及三角恒等变换化角的关系为边的关系． 答案：A 答案：A ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1， [解]　法一：根据正弦定理＝＝. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， 法二：根据正弦定理＝＝. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin B＝. ∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A－sin B＋＝0，则△ABC的形状一定为(　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：在△ABC中，sin A－sin B＋＝0， 则由正弦定理得(sin A－sin B)＋＝·(sin A－sin B)＝0. 因为三角形中，A，B，C∈(0，π)，所以sin C>0⇒＋1≠0. 所以sin A＝sin B⇒a＝b，则△ABC的形状一定为等腰三角形．故选B. [例2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝c，cos C＝. (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． [解]　(1)由正弦定理＝， 得sin A＝. 所以0＜A＜，所以cos A＝， 所以sin B＝sin(π－B)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×＝. 因为cos C＝，所以sin C＝， 又＝，所以sin A＝＝. (2)由(1)知sin A＝，因为a＝＜c， 因为＝，即＝， 所以c＝4，所以S△ABC＝bcsin A＝×11×4×＝22. [方法技巧] (1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值． (2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．　　 利用面积公式得S△ABC＝×1××＝. [针对训练] 2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，求△ABC的面积． 解：在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝， 利用正弦定理可得C＝120°(60°舍)，得到B＝30°， (2)在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为(　 ) A.0，3 B.1，3 C.1， D. ，3 [解析]　(1)由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可得a＝2b. (2)由正弦定理可得，＝＝＝＝＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1. 又A＋B＋C＝180