板块综合融会 平面向量数量积的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版）

板块综合融会　平面向量数量积的综合问题 (习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 (1)向量数量积的考查高考中几乎年年都有，若以代数知识形态出现，则主要考查公式运用下的简单计算，聚焦的是数学运算素养． (2)若以几何形态出现，则突出对直观想象以及数学运算素养的考查． 2．渗透的数学思想 (1)数形结合思想：向量具有几何与代数两个特征，在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想． (2)转化与化归思想：解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想． (3)分类讨论思想：向量b在a方向上的投影值，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形用到分类讨论的思想． 1 2 目 录 3 融通点(一)　平面向量中的最值与范围问题 融通点(二)　极化恒等式的应用 融通点(三)　平面向量中的新定义问题 融通点(一)　平面向量中的最值与范围问题 [答案]　(1)A　(2)2 [方法技巧] 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 答案：D　 2．已知向量a，b满足|a|＝2|b|，a·b＝－1，则|a＋b|的最小值为________． 融通点(二)　极化恒等式的应用 [方法技巧] 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积． 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)． 答案：B　 答案：－16 融通点(三)　平面向量中的新定义问题 [方法技巧] 向量的新定义问题就是给出一种新的概念、性质或新的运算法则，利用新概念、性质或新的运算法则来解决问题的题型，是知识迁移的一种形式．解决此类问题的关键是读懂并理解新概念及运算法则的实质，然后结合向量知识来解决． [典例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　 ) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) (2)已知平面向量a，b的夹角为60°，且|a＋b|＝，则|a|＋|b|的最大值为________． [解析]　(1)如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)． 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，且－1<x<3. 所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A. (2)|a＋b|＝，两边平方得a2＋2|a||b|cos 60°＋b2＝3， 即a2＋|a||b|＋b2＝3，变形为|a||b|＝(|a|＋|b|)2－3， 其中|a||b|≤，当且仅当|a|＝|b|时等号成立， 所以(|a|＋|b|)2－3≤，解得|a|＋|b|∈(0,2]． [针对训练] 1．已知点D在Rt△ABC的斜边BC上，若AB＝2，AC＝3，则·的取值范围为(　 ) A．[－2,3] B．[0,4] C．[0,9] D．[－4,9] 解析：设＝λ，其中0≤λ≤1，则－＝λ(－)，从而＝λ＋(1－λ)，故·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ2－(1－λ)2＋(1－2λ)·＝9λ－4(1－λ)＝13λ－4∈[－4,9]，故选D. 解析：设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝－1，所以θ∈，则a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2|b|2·cos θ＝－1，所以|b|2＝≥，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5|b|2－2≥，即|a＋b|的最小值为. 答案： 1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)·＝(||2－||2)． 3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝||2－||2. 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． 记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． [典例2]　设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　 ) A．1