7.2.2 单位圆与三角函数线（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版）

课时目标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 7.2.2　单位圆与三角函数线 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 1．单位圆 定义 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足__________的点组成的集合称为_______ P的坐标 如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的_______和_______ x2＋y2＝1 单位圆 横坐标 纵坐标 各象限内的三角函数线如下表所示：   第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 微点助解 三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示． (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆． (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点． (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． 答案：C 答案：B　 [方法技巧] 三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． [方法技巧] 利用三角函数线比较同名三角函数值大小的策略 (1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小． (2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小． (3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边(或终边的反向延长线)分别交于点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小． [针对训练] 2．已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是(　 ) A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β D．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β 答案：D　 解析：由图(1)可知，当cos α＞cos β时，sin α＜sin β，A错误；由图(2)可知，当cos α＞cos β时，tan α＜tan β，B错误；由图(3)可知，当cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；由图(4)可知，当cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确． 3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b [方法技巧] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置． (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值． (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 答案：A　 2．三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M. 由三角函数的定义知点P(cos α，sin α)，其中cos α＝±||，sin α＝±||，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝±||.我们称，，分别为α的余弦线、正弦线、正切线． [基点训练] 1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　 ) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 2．下列角的正切线不存在的是(　 ) A．－　　 B．　　　 C．　　 D． 解析：因为的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在． 3．若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则co