7.2.2单位圆与三角函数线 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦单位圆与三角函数线的核心概念，通过有向线段、单位圆定义及三角函数线的作图与应用，构建从角的终边到坐标关系的逻辑链条，形成“几何直观—代数表达—不等式探究”的学习支架，实现从具体到抽象的认知跃迁。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合。以单位圆为载体，强化几何直观和空间观念，引导学生用图形理解函数值符号与大小关系，提升推理意识和运算能力。习题设计层次分明，注重数形结合思想渗透，如利用三角函数线比较大小、解不等式，培养建模意识与应用能力，助力学生深度理解三角函数本质，发展理性精神与创新意识。

7．2.2　单位圆与三角函数线 【课程标准】　1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.了解三角函数线的意义． 教 材 要 点 知识点一　有向线段 1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的________． 2．有向线段数量：根据有向线段与有向直线l的方向________或________，分别把它的长度添上正号和负号，这样得的数叫做有向线段的________． 3．单位圆：圆心在原点，半径等于________的圆． 知识点二　单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点构成的集合，角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)． 知识点三　三角函数线 三角函数线：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝，cos α＝，tan α＝． 【学霸笔记】　三角函数线的方向是怎样确定的？ [提示]　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值． 　基 础 自 测 1．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则角α的终边在(　　) A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 3．下面四个选项中大小关系正确的是(　　) A．sin <sin B．sin >cos C．cos <cos D．tan <tan 4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　) A．(－) B．(0，) C．(，2π) D．(0，，2π) 5．角的终边与单位圆的交点的坐标是________． 题型1三角函数线的概念 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)；(2)－；(3)－；(4). 总结 1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． 2．作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． 跟踪训练1　(1)下列四个命题中： ①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 (2)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： ①； ②； ③； ④－. 题型2利用单位圆探讨三角函数的单调性 【思考探究】　1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α) 呢？ [提示]　由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y ＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)． 2．如何利用三角函数线比较大小？ [提示]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 例2(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． ①sin α≥；②cos α≤－. 总结　作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围． (2)(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是(　　) A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β 总结 1．通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤： (1)作出取等号的角的终边； (2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； (3)将图中的范围用不等式表示出来． 2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域． 跟踪训练2　(1)函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域为________________． (2)已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(　　) A． B．() C．(π，2π) D． 题型3三角函数线的综合应用 例3(1)若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　) A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1 C．sin α＋cos α<1 D．不能确定 总结　画出三角函数线，根据三角形两边之和大于第三边，即可得到答案． (2)已知α∈(0，)，则sin α＋cos α的取值范围是________． 总结　本题可以通过三角函数的定义域确定三角函数线的范围，从而确定三角函数值的取值范围． 总结 1．本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题． 2．三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题． 跟踪训练3　(1)已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tan α＝(　　) A．0　　　B．1 C．－1　　D． (2)已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A．[，1) B．[，1) C．[1，] D．[] 教材反思 (1)应用三角函数线比较大小的策略 ①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值． ②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． (2)利用三角函数线解三角不等式的方法 ①正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点，即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围． ②正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围． 能 力 提 升 练 1.设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则由三角函数线可知a，b，c的大小顺序为________(用“<”连接)． 2．利用单位圆中三角函数线证明下列不等式． (1)已知0<α<，求证：sin α<α<tan α； (2)已知0<β<α<，求证：α－β>sin α－sin β. 7．2.2　单位圆与三角函数线 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 1．线段 2．相同　相反　数量 3．单位长度 [练习] 1．解析：因为角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，所以角α终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，所以α的终边在第二、第四象限的角平分线上．故选C. 答案：C 2．解析：根据三角函数线的定义可得，有向线段MP的值等于sin α，有向线段OM的值等于cos α，且有向线段AT的值等于tan α，因此，题图中正弦线为MP，正切线为AT，只有C项表达正确，其它各项均有错误．故选C. 答案：C 3．解析：如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT，角的正弦线D′P′、余弦线OD′、正切线AT′，由于＝π－，因此和的终边关于y轴对称，由图可得sin ＝sin >0，cos >0>cos ，tan >0>tan ，∴sin >0>cos ，∴A，C，D均错误，B正确．故选B. 答案：B 4．解析：角α的取值范围为图中阴影部分如图所示， 即(0，，2π)，故选D. 答案：D 5．解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝， ∴角的终边与单位圆的交点的坐标是(－)． 答案：(－) 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　 图① (1)作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图①所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 图② (2)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边于T，如图②所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 图③ (3)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如图③所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 图④ (4)因为＝4π＋，所以角与角的终边相同，作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边的反向延长线于T，如图④所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 跟踪训练1　解析：(1)由三角函数线的定义知①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线． (2)①作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. ②作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边的反向延长线于T，如图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. ③作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. ④因为－＝－2π＋，所以角－与角的终边相同， 作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如图所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 答案：(1)C　(2)见解析 例2　【解析】　(1)①作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图1中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 {α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． ②作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图2中的阴影部分)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为． (2)设角α，β的终边分别为射线OP，OQ.对于A，如图1，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，OM<ON，所以cos α<cos β，故A错误；对于B，如图2，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，且AC<AB，所以tan α<tan β，故B正确；对于C，如图3，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，且OM<ON，所以cos β>cos α，故C正确；对于D，如图4，sin α＝MP>NQ＝sin β，AB<AC，即tan β<tan α，故D正确．故选BCD. 【答案】　(1)见解析　(2)BCD 跟踪训练2　解析：(1)要使原函数有意义， 有即 如图，在单位圆中由sin x>可知角x的终边落在由OA，OB及劣弧AB围成的区域内(不含边界)． 由cos x≤可知角x的终边落在由OC，OD及优弧CD围成的区域内(含边界)， 所以 所以原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)． (2)画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x＝OM， ∵0≤x≤2π，且sin x<cos x， 从图中可知x的取值范围是[0，，2π].故选D. 答案：(1)[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)　(2)D 例3　【解析】　 (1)如图， 角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α>1.故选A. (2)如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cos α＝OM，sin α＝MP，OP＝1， 在Rt△OPM中，|OM|＋|MP|>|OP|，∴sin α＋cos α>1， 又|OM|2＋|MP|2＝|OP|2＝1， ∴(|OM|＋|MP|)2≤2(|OM|2＋|MP|2)＝2，即|OM|＋|MP|≤， 当且仅当|OM|＝|MP|时取等号， ∴1<sin α＋cos α≤. 【答案】　(1)A　(2)(1，] 跟踪训练3　解析：(1)由条件知|sin α|＝|cos α|，且sin α>0，cos α<0， 所以sin α＝－cos α，于是tan α＝－1.故选C. (2)因为tan A－≥0，所以tan A≥， 令tan A＝，又0<A<π，所以A＝，作角的正切线，如图所示，由图可得，当≤A<时，tan A≥，此时≤sin A<1，即sin A的取值范围是[，1)．故选A. 答案：(1)C　(2)A 能力提升练 1．解析： 如图，在单位圆O中，角的正弦线为，角的余弦线为、正切线为.由＝π－，知|＝|，又<<，所以|，所以cos <sin <tan ，故b<a<c. 答案：b<a<c 2.证明：(1)如图所示，设单位圆与x轴的正半轴的交点为N，角α的终边与单位圆的交点为A，与直线x＝1的交点为T，AM⊥x轴于点M， 则sin α＝||，tan α＝||. 连接AN，则S△OAN<S扇形AON<S△ONT， 即ON·MA<ON2·α<ON·NT， 所以MA<α<NT，所以sin α<α<tan α. (2)如图所示，设角α，β的终边与单位圆分别交于P1，P2. 作P1M1⊥x轴于点M1，P2M2⊥x轴于点M2，P2C⊥P1M1于点C， 则sin α＝|，sin β＝|，α－β＝P1A－P2A＝． 连接P1P2，则α－β＝>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝|＝sin α－sin β， 即α－β>sin α－sin β. 学科网（北京）股份有限公司 $