第6章 计数原理 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，体现出分类与整合的思想． 2．在排列组合的有关问题中，首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复杂的问题简单化，体现了正难则反的思想方法． 3．化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题．在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解．在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　两个计数原理的应用 1．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为 (　 ) A．9 B．12 C．18 D．24 答案：B　 解析：由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12. 答案：B　 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，n＝1,2,3,4，共四种结果；当m＝4时，n＝1,2,3，共三种结果；当m＝3时，n＝1,2，共两种结果；当m＝2时，n＝1，有一种结果，即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)． 3．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法共有(　 ) A B C D E A.500种 B．520种 C．540种 D．560种 答案：C　 解析：先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法．同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法，由分步乘法计数原理可知，符合这些要求的不同着色的方法共有5×4×3×3×3＝540(种)． 4．若m，n∈N，m>0，n>0，且m＋n≤8，则平面上的点(m，n)共有 (　 ) A．21个 B．20个 C．28个 D．30个 答案：C　 解析：根据题意，m可取的值为1,2,3,4,5,6,7，当m＝1时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6,7，共7种；当m＝2时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6，共6种；当m＝3时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5，共5种；当m＝4时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4，共4种；当m＝5时，由题意可知n可取的值为1,2,3，共3种；当m＝6时，由题意可知n可取的值为1,2，共2种；当m＝7时，由题意可知n可取的值为1，共1种，则平面上的点(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(个)． 5．由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有 (　 ) A．10条 B．8条 C．6条 D．4条 答案：C　 7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是 (　 ) A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.2 答案：C　 8．6名学生和2位老师排成一排毕业留影，要求两位老师站最中间，学生甲、乙不相邻，则不同的站法种数为 (　 ) A．1 056 B．960 C．864 D．768 答案：A　 10．身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相，在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数为 (　 ) A．1 B．15 C．90 D．54 答案：C　 11．(1)从A，B，C等7人中选5人排成一排．(请列出算式并计算出结果) ①若A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ ②若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ (2)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(请列出