1 同角三角函数的基本关系(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

BUSINESS POWERPOINT 第四章 三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2.理解同角三角函数的基本关系式． 3.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 3 同角三角函数的基本关系 1 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________. 题型(一)　利用同角三角函数的基本关系求值 [方法技巧] 利用同角三角函数的基本关系求值的类型及解题策略 (1)已知三角函数值及角的终边所在象限：可直接利用同角三角函数的基本关系求值． (2)已知三角函数值，而角的终边所在象限未知：需要对角的终边所在的象限进行分类讨论，再求值． (3)所给三角函数值含字母，且角的终边所在的象限未知：需要对字母取值的符号进行讨论，进而确定角的终边可能在的象限，再讨论求值． 答案：C　 答案：B　 题型(二)　齐次式的求值问题 答案：D　 题型(三)　利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 题型(四)　利用同角三角函数关系化简、证明 [方法技巧] 1．三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式的常用方法 证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法： (1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左、右两边等于同一个式子. (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. [针对训练] 7．求证：2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0. 证明：∵左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立． 平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 商数关系 tan α＝_________ 微点助解 (1)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的．如sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠kπ＋(k∈Z)成立． (2)变形形式 ①1＝sin2α＋cos2α； ②sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α； ③sin α＝±，cos α＝±； ④sin α＝cos αtan α； ⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立． (　 ) (2)当sin α＝时，cos α＝. (　 ) (3)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．(　 ) (4)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝. (　 ) 2．化简＝ (　 ) A．cos B．－cos C．sin D．－sin 答案：A 答案：－ 解析：因为3sin α＋cos α＝0，所以cos α＝－3sin α. 所以tan α＝＝＝－. 4．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________． 答案： [典例1]　(1)已知sin α＝，α∈，则tan α＝ (　 ) A. B．－ C. D．－ (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. [答案]　(1)B　(2)－ [解析]　(1)因为sin α＝，α∈，则cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.故选B. (2)由且θ∈， 解得故sin θ－cos θ＝－. [针对训练] 1．已知x∈，tan x＝－，则cos等于 (　 ) A. B．－ C．－ D. 解析：∵tan x＝＝－，∴cos x＝－sin x．由sin2x＋cos2