6.1 第1课时 余弦定理(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.1　余弦定理与正弦定理 第 1 课时　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 2.能利用余弦定理解决简单的实际问题． 课时目标 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 余弦定理及变形 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 减去 微点助解 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 3.在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 答案：C　 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 答案：D　 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [答案]　(1)A　(2)C [方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤 [针对训练] 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________. 题型(三)　余弦定理的综合应用 [方法技巧] (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择． (3)因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，此时，由cos α＝m(－1＜m＜1)来确定α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了． [针对训练] 5．在△ABC中，bcos A＝acos B，则△ABC是 (　 ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 答案：B　 公式表达 a2＝_________________；b2＝__________________； c2＝__________________ 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和_____这两边与它们夹角余弦的积的两倍 变形 cos A＝____________；cos B＝____________； cos C＝____________ 3．△ABC的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)； (2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A. [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于 (　 ) A. B．8 C．10 D．7 答案：D　 解析：由余弦定理得c＝＝＝7. 2．在△ABC中，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝ (　 ) A．30° B．60° C．45° D．90° 答案：B　 解析：因为a＝，b＝3，c＝2，所以由余弦定理得cos A＝＝＝.又0°<A<180°，则A＝60°.故选B. 答案： 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 4．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则△ABC的面积为________． 答案： 解析：由面积公式得S△ABC＝absin C＝×9×2sin 150°＝. [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°