5.2 向量数量积的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．　3.会利用数量积计算长度与角度． 课时目标 5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝__________. x1x2＋y1y2 x2＋y2 4．向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ _____________. x1x2＋y1y2＝0 [基点训练] 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是 (　 ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 答案：D　 解析：a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 答案：C　 解析：∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 4．与a＝(3，－4)平行的单位向量的坐标有几个，是什么？ 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．∵a·b＝10，∴λ×1＋2λ×2＝5λ＝10， 解得λ＝2.∴a＝(2,4)． ②(a·c)·b＝[2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0. [方法技巧] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解． 答案：D　 题型(二)　平面向量的夹角及垂直 [答案]　(1)C　(2)C　(3)D [针对训练] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 (　 ) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D　 解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 4．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角θ是锐角，求实数m的取值范围． 题型(三)　平面向量的模坐标表示 [典例3]　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小． [变式拓展] 1．例题中的条件不变，若c＝3a－(a·b)·b，试求|c|. 2．将例题中的“b＝(0,2)”改为“b＝(0，－2)”，其他条件不变，若ka－b与a＋b共线，试求k值． 解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，∴ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)， a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1. 6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________． 题型(四)　数量积在几何图形中的应用 [针对训练] 7.已知点A(－2,1),B(6，－3),C(0,5),求证:△ABC是直角三角形. 2．向量长度的坐标表示 设a＝(x，y)，则|a|2＝________，或|a|＝________. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|a|＝＝______________________. 3．向量夹角的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝___________________(|a||b|≠0)． 答案： 解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 提示：因为a的模为5，所以与a平行的单位向量是±a.所以与a平行的单位向量有2个，对应坐标为或. [典例1]　(1)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. (2)已知向量a和b同向，b＝(