5.1 第1课时 向量的数量积(概念课—逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.1　向量的数量积 第 1 课时　向量的数量积(概念课—逐点理清式教学) 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 课时目标 1 2 目 录 3 逐点清(一)　向量的数量积 逐点清(二)　相等向量与共线向量 逐点清(三)　向量的夹角 2 逐点清(一)　向量的数量积 |a||b|cos θ |a||b|cos θ 2．规定 规定零向量与任一向量的数量积为____. 3．数量积与夹角的关系 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. 0 微点助解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． 答案：B　 答案：B　 逐点清(二)　投影向量与投影数量 投影向量 投影数量 |a|cos θ |b|cos θ (3)投影数量是一个数量，其值可为正，可为负，也可为零，而投影向量是向量． (4)在确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”． 答案：D　 逐点清(三)　数量积的运算性质 [多维度理解] 1．平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b＝______； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝ ________________ ； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝ __________. b·a (λa)·b＝a·(λb) a·c＋b·c 2．平面向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝________________； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔______； |a|cos〈a，e〉 a⊥b |a||b| 微点助解 (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． [细微点练明] 1.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 (　 ) A．0·a＝0 B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b＝0⇒a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2 答案：AB　 解析：0·a＝0，A错误；(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b＝0⇒a⊥b，C正确；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，D正确．故选A、B. [多维度理解] 1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)．____________称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝____________. [细微点练明] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 2．在等腰△ABC中，∠C＝120°，AC＝4，则·＝(　 ) A．8 B．－12 C．16 D．－24 答案：A　 解析：由条件可知AC＝CB＝4，·＝－·＝－||||cos 120°＝－4×4×＝8. 3.若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于 (　 ) A. B. C．1＋ D．2 解析：由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 4．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝ (　 ) A．3 B．－3 C. D．－ 答案：D　 解析：在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－