4.1 平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． 课时目标 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个_______的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使_____________. 2．基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组_____，记为{e1，e2}． 不共线 a＝λ1e1＋ λ2e2 基 3．正交基及正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为_______．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为____________． 正交基 标准正交基 微点助解 1．平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 2．基的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基． (2)不唯一性 对基的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1，e2}线性表示． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基． (　 ) (2)平面向量的基不是唯一的． (　 ) (3)零向量不可作为基中的向量． (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 4．向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________． 答案：3 [典例1]　设e1，e2是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基的是 (　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．e1＋2e2和e2＋2e1 C．3e1－2e2和4e2－6e1 D．e2和e2＋e1 题型(一)　对向量基的理解 [答案]　C [解析]　e1＋e2和e1－e2没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；e1＋2e2和e2＋2e1没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基；e2和e2＋e1不共线，可作为平面向量的一组基．故选C. [方法技巧] 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为一组基的向量必为非零向量． [针对训练] 1．设e1，e2是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋______b. 2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为一组基，则实数λ的取值范围为________________． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：若a，b能作为一组基，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)． 题型(二)　用基表示向量 [方法技巧] 平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解． 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [方法技巧] 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． 2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于 (　 ) A. B. C. D. 答案：B　 解析：如图，＝＝(－)＝2e1－3e2. 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 答案：4e1＋3e2 答案：　－ 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以 [典例2]　设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来． [解]　如图，＝－＝－－ ＝－－(－) ＝－＝b－a. ＝－＝－＝a