3.2 向量的数乘与向量共线的关系(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用． 2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题． 课时目标 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________. a＝λb 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 (　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A [典例1]　(多选)已知e1，e2为两个不共线的向量，则下列说法正确的是 (　 ) A．若a＝2e1，b＝3e2，则a∥b B．若a＝2e1＋e2，b＝－2e1－e2，则a∥b C．若a＝2e1－3e2，b＝－2e1－3e2，则a∥b D．若a＝－2e1，b＝3e1，则a∥b 题型(一)　向量共线的判定 [答案]　BD [方法技巧] 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线． [针对训练] 1．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　 ) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 答案：ABD　 解析：因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误． 题型(二)　三点共线的判定与证明 题型(三)　利用向量共线求参数 [方法技巧] 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值． 6．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________. 答案：－4 2．直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中______称为直线l的方向向量． 微点助解 (1)对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，显然成立．若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线． 但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0. (2)一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组即可． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa. (　 ) (2)若＝3，则与共线． (　 ) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. (　 ) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)． (　 ) 3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 答案：－ 解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝.又因为b与a的方向相反，所以a＝－b. [解析]　对于A，因为e1，e2不共线，所以a与b不共线，A错误；对于B，由式子可知a＝－b，所以a∥b，B正确；对于C，因为a，b两向量没有倍数关系，所以a，b不共线，C错误；对于D，因为a＝－b，所以a∥b成立，D正确． 2．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是 (　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 答案：B　 解析：因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝.所以与共线．故选B. [典例2]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则 (　 ) A．A，B，C三点共线 B．B，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．A，C，D三点共线 (2)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为 (　 ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 [答案]　(1)C　(2)D [解析]　(1)因为＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以＝＋＝e1＋5e2＝.所以A，B，D三点共线．因为与