河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

2024学年郑州市宇华实验学校高三下学期开学摸底考试数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（    ） A． B． C． D． 5．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 8．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9．已知则可能满足的关系是（ ） A． B． C． D． 10．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 11．已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（    ） A．的最大值是 B．当时， C．当，在轴的同侧时，的最大值为 D．当，在轴的异侧时（，与不重合）， 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．若，恒成立，则a的取值范围是 ． 13．若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 14．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设函数． (1)解不等式； (2)令的最小值为，正数满足，证明：． 16．（15分）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面． (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示： 将分数不低于750分的学生称为“高分选手”． (1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 18．（17分）已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于两点，面积的最小值为4. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由. 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若a＞0，记为的零点，． ①证明：； ②探究与的大小关系． 2024学年郑州市宇华实验学校高三下学期开学摸底考试数学 • 参考答案 一、单项选择题 1．【答案】D 【解析】由，得，即，所以； 由，得， 因为， 所以，即； 综上，. 故选：D. 2．【答案】D 【解析】因为，所以， 由，即，在区间上恰有3个实根， 则，解得. 故选：D 3．【答案】B 【解析】 如图，作平面，连接，易得因，平面， 所以平面，平面，故, 由题可得，，则.