专题6.2 等比数列及其前n项和【十大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题6.2 等比数列及其前n项和【十大题型】 【新高考专用】 【题型1 等比数列的基本量计算】 2 【题型2 等比中项及其应用】 3 【题型3 等比数列的性质的应用】 3 【题型4 等比数列的判定与证明】 4 【题型5 等比数列通项公式的求解】 4 【题型6 等比数列中的单调性与最值问题】 5 【题型7 等比数列前n项和的性质】 6 【题型8 等比数列的前n项和的求解】 7 【题型9 等比数列的简单应用】 7 【题型10 等差数列与等比数列的综合应用】 8 1、等比数列及其前n项和 等比数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度偏难；高考中数列内容一般设置一道选择题和一道解答题，需要灵活求解. 【知识点1 等比数列的基本运算的解题策略】 1.等比数列基本量的运算的求解思路： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 【知识点2 等比数列的判定方法】 1.证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识点3 等比数列及其前n项和的性质及应用】 1.等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【知识点4 等比数列前n项和的函数特征】 1.Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2.Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）在递增的等比数列中，若，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（    ） A． B．1 C．16 D．32 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 等比中项及其应用】 【例2】（2023·山东临沂·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式2-1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列，若，则（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式2-2】（2023·浙江台州·统考二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，若存在，使得，则的最小值为（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【题型3 等比数列的性质的应用】 【例3】（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式3-2】（2023·河南驻马店·统考二模）设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 等比数列的判定与证明】 【例4】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在数列