重难点10 数列的通项、求和及综合应用【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点10 数列的通项、求和及综合应用【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】 3 【题型2 等差、等比数列的判定与证明】 4 【题型3 数列通项公式的求解】 5 【题型4 等差、等比数列的综合问题】 6 【题型5 数列性质的综合问题】 7 【题型6 数列求和】 8 【题型7 数列问题的实际应用】 9 【题型8 数列不等式问题】 10 【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】 12 数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，小题重点考查等差数列、等比数列的基础知识、性质以及数列的递推关系，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；解答题的难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解. 【知识点1 判断数列类型的技巧方法】 1.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 3.证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可；在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识点2 数列通项公式的求解策略】 1.含，的式子求通项的方法： 在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解． 2.形如的递推关系式求通项的方法： 遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 3.构造数列求通项的方法： 遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： (1)形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出； (2)形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第(1)个问题； (3)形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第(1)个问题． 【知识点3 数列的单调性与最值问题的解题策略】 1.判断数列单调性的方法 (1)比较法（作差或作商）； (2)函数化（要注意扩展定义域）． 2.求数列最值的方法 (1)利用数列的单调性； (2)设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小（以最大值项为例，最小值项同理）． 【知识点4 数列求和的几种方法】 1.公式法： 公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础；其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和，然后利用等差或等比数列的求和公式进行求解.注意利用等比数列求和公式时，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论． 2.裂项相消法求和： 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 3.错位相减法求和： 用错位相减法求和时的注意点： (1)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式； (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论． 4.分组（并项）法求和： 分组（并项）法求和的常见类型： (1)若，且，为等差或等比数列，可采用分组（并项）法求的前项和； (2)若通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组（并项）法求和. 【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】 【例1】（2023·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-