重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点4-2 奔驰定理及三角形“四心”向量式 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。 【题型1 三角形“重心”及应用】 满分技巧 常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 （1） （2） （3）若或，，则一定经过三角形的重心 （4）若或，，则一定经过三角形的重心 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若是的垂心，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【题型2 三角形“内心”及应用】 满分技巧 常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则 ． 【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ） A． B． C． D． 【题型3 三角形“外心”及应用】 满分技巧 常用外心向量式：是的外心， （1） （2） （3）动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. （4）若，则是的外心. 【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【题型4 三角形“垂心”及应用】 满分技巧 常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心 （4）奔驰定理推论：，. 【例4】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（ ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【变式4-1】（2