2.5 简单复合函数的求导法则 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.5 简单复合函数的求导法则 学习目标 理解复合函数的概念.(重点） 能够利用复合函数求导法则和步骤求简单复合函数的导数（难点）. 能够将复合函数分解为合适的基本初等函数.（难点） 海上一艘油轮发生了泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积(单位：）与油膜的半径（单位:m)的函数关系为 油膜的半径随着时间（单位：s）的增加而扩大，假设关于的函数解析式为 油膜的面积关于时间的瞬时变化率是多少？ 情境导入 分析：由题意知，时间决定油膜的半径,进而决定油膜的面积,所以可得 关于的函数解析式为 油膜的面积关于时间的瞬时变化率就是函数的导数. 因为，根据导数公式表和导数的四则运算法则，可得 所以油膜的面积关于时间的瞬时变化率为 另外， ,， 我们可以观察到， 即 . 情境导入 1、复合函数的定义 一般地，对于两个函数，如果给定的一个值，就得到了的值，进而确定了值，那么可以表示成的函数，称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中为中间变量. 2、复合函数的求导法则 复合函数对的导数为 ,其中. 注意：表示关于的导数. 新课探究 复合函数的定义及复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 复合函数对的导数为 ,其中. 注意：表示关于的导数. 推广：设,，，且点处，点，点处分别可导，则复合函数导数为 新课探究 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）分解：分解复合函数为基本初等函数，注意选择合适的中间变量； （2）层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）作积还原：将各层基本初等函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量. 以上步骤可称之为复合函数求导“三步曲”. 新课探究 3、复合函数求导的基本步骤 解：引入中间变量，则函数是由函数与复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 例题解析 例1 求函数的导数. 解：引入中间变量,则函数由函数复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 . 例题解析 例2 求函数导数. 例3 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：cm)关于时间（单位：s）的函数解析式为，求函数在时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数由函数和函数复合而成的，其中中间变量. 由复合函数的求导法则，可得 将得 (cm/s) 它表示当时，水面高度下降的速度为cm/s. 例题解析 （1）; （2）; 解：（,,. （2），，. 巩固练习 1、写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： （3）； （4）. 解：（3），，. (4)，， 巩固练习 A. B. C. D. 解：， . 故选C. 巩固练习 (2022•河南驻马店高二期中）已知函数，则导函数为（ ） （2021江西赣州高二期末）设导数为，则 值为（ ） A.0 B.e C. D. 解：. . 故选D. 巩固练习 $$