2024 年河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题旋转问题（课后练）

三角形、四边形综合题——旋转问题 考情分析 年份 题号 题型 分值 图形 设问方式 解题关键点 2021 26 解 答 题 12 首尾相接的四条线段 论证 求证：线段长为定值 发现 求角度数 尝试 求点到直线的距离 拓展 ①求线段长 ②求余弦值 论证 两直线平行内错角相等 发现 分类讨论思想：三点共线时和三点不共线时，平行线的性质 尝试 B、C、D三点共线，BM最大 拓展 ①相似三角形性质：对应边成比例 ②全等三角形的性质 2017 25 11 平行四边形+三角形 (1)求角的大小 (2)求两点间的距离 (3)求线段旋转扫过的面积 (1)分类讨论思想：两点在线段同侧和两点在线段异侧时，余角的性质 (2)构造直角三角形，利用角度正切比求线段比，勾股定理 (3)分类讨论思想：点Q分别落在AD、CD、BC延长线上时 典例精讲 例 （2022河北逆袭卷）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，O是对角线BD的中点，P是平面内一点，且OP＝1. 　 图①　　　　　　图②　 　　　　　图③ 例题图 (1)点P到AB的最小距离是________； (2)如图②，当P点落在BD上时，求CP的长； (3) 如图③，连接BP，把BP绕点P顺时针旋转90°得到 B′P，连接CP，DB′，求B′D的最大值． 课堂练兵 练习 （2022河北黑白卷）在正方形ABCD中，边BC的中点为E，点F为边CD上一个动点(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°＜α≤360°)，旋转后的三角形为△CE′F′，连接EE′和FF′. (1)如图①，求证：△CEE′∽△CFF′； (2)如图②，当点F为CD的中点时，判断线段EE′和线段FF′的数量关系和位置关系，并证明； (3)如图③，若∠CEF＝60°，在旋转过程中，当点E恰好在△CE′F′的一条边上时(不包含顶点)，求α的度数； (4)如图④，若正方形ABCD的边长为4，当∠CEF＝30°时，取EF的中点M，E′F′的中点M′，连接AM，AM′，请直接写出在旋转过程中，AM′的取值范围． 图① 图② 图③ 图④ 练习题图 课后小练 练习1 （2022山西逆袭卷）综合与实践 问题情境：如图①所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，对角线AC⊥BC，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，已知CD＝CE. (1)试判断线段AD与AE的数量关系，并证明； 操作探究：将△ACD沿直线AB向右平移，点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′. (2)①如图②，当点A′与点E重合时，连接DD′，试判断四边形AED′D的形状，说明理由；并求出此时△ACD平移的距离； ②当点D′恰好落在BC上时，请在图①中画出平移后的△A′C′D′，并求出此时△ACD平移的距离； 拓展创新： (3)如图③，在(2)①的条件下，将△A′C′D′绕点E旋转，在旋转的过程中，记C′D′所在直线与边BC交于点M，与边AB交于点N，当BN＝MN时，请求出BN的长度． 练习1题图 练习2 (2022河北预测卷)已知正方形ABCD和等腰Rt△DEF,且∠EDF＝90°,将△DEF绕点D旋转． (1)当△DEF绕点D旋转到图①的位置时,连接AF,AE,CE. 　①求证：AF＝EC； ②若DE∶AE∶CE＝1∶∶3,求∠AED的度数； (2)如图②,点M是边AB的中点,连接DM､AC交于点O,当DF与DM重合时,FE交DC于点N,若BC＝4,OF＝,请直接写出点N到AC的距离． 练习2题图 答案 典例精讲 例 解：(1)1； (2)如解图①，连接OC， 解图① ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，OC＝BD， ∴BD＝4，∴OC＝2. ∵OP＝1，∠BOC＝90°， ∴CP＝＝＝3； (3) 如解图②，连接BB′， 解图② 由旋转的性质可知，BP＝B′P，∠BPB′＝90°， ∴∠PBB′＝45°， ∴BB′＝BP，∴＝. ∵∠ABD