2024 年河北省中考数学备考重难专题：三角形、四边形综合题平移问题 讲义

三角形、四边形综合题——平移问题 考情分析 年份 题号 题型 分值 图形 设问方式 解题关键点 2022 26 解 答 题 12 直角梯形+直角三角形 (1)求证三角形全等 (2)①求线段扫过的面积 ②求点在三角形区域内的时长 ③求线段长 (1)证明矩形得到CD的长度 (2)①PQ扫过的面积分为两部分：(i)从点A到点D，PQ扫过的面积是以AQ为边的平行四边形的面积； (ii)点D为圆心，PQ为半径，圆心角50°的扇形面积 ②时长为平移过程时长和旋转过程时长之和。平移过程中K在△PQM内的距离长是KH，P点到Q点后开始旋转，临界状态开始旋转，旋转角度即∠QPK，度数为15° ③CF=BC－BE－EF，通过△DEF∽△CED得到EF的长 典例精讲 例 (2022河北定心卷)如图①，在▱ABCD中，AC⊥AB，AC＝4 cm，tan B＝. 如图②，将△ADC沿AC方向以1 cm/s的速度匀速平移得到△PEF，点A，C，D的对应点分别为P，F，E，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1 cm/s的速度匀速运动，连接PQ，EQ，CE，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)． (1)当t为何值时，PQ⊥BC； (2)当t为何值时，20S△EQC＝3S△ABC； (3)嘉淇认为在(1)的情况下，线段PQ的长度最小，嘉淇的观点正确吗？若正确，请说明理由，并求出此时线段PQ的长；若不正确，请求出线段PQ的最小值． 例题图 课堂练兵 练习 (2022山西逆袭卷)综合与实践 问题情境： 如图①，是由两个全等的含30°角的三角尺拼成的矩形，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ACB＝∠DFE＝30°，点C与点E重合，点B与点F重合，现将△DEF固定不动，将△ABC沿FD的方向平移，当点B与点D重合时，停止运动，设运动过程中，AB与EF相交于点M，BC与DE相交于点N. (1) 数学思考： 如图②，当BF＝2BD时，试判断四边形EMBN的形状，并证明； (2) 猜想证明： 如图③，连接AF，CD，当四边形AFDC为菱形时，请猜想BF和AB的数量关系，并加以证明； (3) 拓展延伸： 若AC＝DF＝6，在平移的过程中，当△ABC与△DEF的重叠部分的面积最大时，请直接写出线段BF的长度． 练习题图 课后小练 练习 (2022天津逆袭卷)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形，点A，点C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，B(6，6)，连接AC.将△ABC沿y轴平移至△A′B′C′，设△A′B′C′与△OAC重叠部分的面积为S. (Ⅰ)如图①，设CC′为m，求出S与m之间的函数关系式(0≤m≤6)； (Ⅱ)当S＝8时，求CC′的长； (Ⅲ)如图②，若C′为OC的中点，将△A′B′C′向左平移，得到△A″B″C″，记△A″B″C″与△OAC重叠部分的面积为S′，设向左平移距离为t(0≤t≤6). ①当t＝1时，求S′的值； ②求S′的取值范围(直接写出结果即可). 练习题图 答案 典例精讲 例 解：(1)如解图①，Rt△ABC中，AC＝4cm，tanB＝，∴＝，解得AB＝3cm. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝5cm. ∵PQ⊥BC，AC⊥AB，∴∠PQC＝∠BAC＝90°. 又∵∠QCP＝∠ACB，∴△PQC∽△BAC， ∴＝. 由题意，得QC＝AP＝t，PC＝AC－AP＝4－t， ∴＝，解得t＝. ∴当t＝时，PQ⊥BC； 解图① (2)如解图②，过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGC＝90°. 由sin∠ACB＝＝，得＝，∴PG＝(4－t). 由平移性质，得PE∥CQ， ∴S△EQC＝ S△PQC＝CQ·PG＝t×(4－t)＝t(4－t). ∵S△ABC＝AB·AC＝×3×4＝6，20S△EQC＝3S△ABC， ∴20×t(4－t)＝3×6，解得t1＝1，t2＝3， ∴当t＝1或3时，20S△EQC＝3S△ABC； 解图② (3)嘉淇的观点不正确． 如解图②，由cos∠ACB＝＝，得＝， ∴CG＝(4－t)．∴QG2＝(CG－CQ)2＝[(4－t)－t]2＝(－t)2＝t2－t＋. 由(2)得PG＝(4－t)，