解三角形的分割三角形问题专项训练-2024届高三数学一轮复习

解三角形的分割三角形问题 1．在中，内角所对边的长分别为，． (1)若，求． (2)若为边上的一点，且，求． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 3．在中，. (1)求； (2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求边上中线的长． 条件①：的周长为；条件②：的面积为 . （若选择多个做答，按第一作答给分） 4．的内角的对边分别为，设． (1)求； (2)若，求边上的高． 5．在中，角所对的边分别是．已知． (1)求； (2)为边上一点，，且，求． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，且． (1)求A； (2)若的外接圆半径为2，且，求的面积． 7．已知平面四边形ABCD，，，，的面积为． (1)求； (2)若，，求CD的长度． 8．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求C； (2)点D在边AB上，且，，求． 9．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．    (1)若，求的边长； (2)求的边长最小值． 10．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角： (2)已知是边的中点，且，求的长． 11．如图，在平面四边形中，，，，．    (1)若，求的值； (2)若，，求AD的长． 12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，. (1)若，求的面积； (2)若点满足，的面积是，求的值. 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且． (1)求角C的大小； (2)若M为边AB上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围． 14．在钝角中，内角，，所对的边分别为，，，且有. (1)求角； (2)若点在边上，，，，求. 15．在中，满足 (1)求； (2)已知点在边上，且，求的值. 16．在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 17．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长． 18．如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．    (1)若，的面积为，求的面积； (2)若，，求的值． 19．记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，． (1)证明：是等腰三角形 (2)若，求 20．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，的面积为，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，从而结合题目条件得到，再由正弦定理求出； （2）由（1）求出，利用向量基本定理得到，两边平方后得到，结合余弦定理，求出. 【详解】（1）由余弦定理，得，即． 因为，所以， 即，解得，（舍去）， 将代入中得． 由正弦定理，得，即， 所以． （2）由（1）知，． 因为， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，解得， 又，代入可得. 2．(1)． (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）∵，根据正弦定理得，， 即， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，，根据余弦定理得 ，∴． ∵，∴． 在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以 ∴，∴． 3．(1) (2)若选择①：；若选择②： 【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，再求出. （2）若选择①，则结合正弦定理、余弦定理求得中线长；若选择②，则根据三角形的面积公式、余弦定理求得中线长. 【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得， ∴，∵，∴， ∴，解得. （2）若选择①： 由（1）可得. 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长为 . 若选择②： 由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长为 . 4．(1) (2)． 【分析】(1)利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求角即可. (2)利用余弦定理和三角函数的定义即可. 【详解】（1）的内角的对边分别为． 因为．由正弦定理得： 即，， ． （2）由余弦定理及已知可得：， 或，又所以 设边上的高为，所以 5．(1) (2) 【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简，可得角； （2）由且，利用向量法求得，再结合余弦定理求和.