解三角形的最值问题专练-2024届高三数学一轮复习

解三角形的最值问题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若边上的中线长为2，求面积的最大值. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求外接圆的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 4．锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)证明：. (2)求的取值范围. 5．如图，在平面凸四边形中，为边的中点．    (1)若，求的面积； (2)求的最大值． 6．在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若边上的高等于，求的最大值. 7．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，求的取值范围. 8．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间： (2)设锐角，为的中点，若，且，求的取值范围． 9．已知向量，，函数. (1)若，求的值； (2)，，为的内角，，的对边，，且，求面积的最大值. 10．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，点在线段上且满足，当取最小值时，求的值. 11．在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的周长的取值范围. 12．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围. 13．在中，内角所对的边分别为，满足 (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值． 14．在中，角所对的边分别是，且． (1)证明：成等比数列． (2)求（1）中数列的公比的取值范围和角的最大值． 15．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)证明：； (2)求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得的大小； （2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 2．(1) (2) 【分析】（1）先化简，再结合余弦定理即可求解； （2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得，结合基本不等式与三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 根据余弦定理可得， 又因为，所以； （2） 是 上的中线，，即， ，即 ， 当且仅当 时，等号成立， ，即面积的最大值为. 3．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式化简求解即可； （2）由余弦定理将转换成，然后利用锐角三角形和正弦定理求出的范围，然后利用二次函数的性质即可求出答案. 【详解】（1）在中，，，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，即． 所以外接圆的半径为， 故外接圆的面积为． （2）由（1）知， 所以． 由正弦定理得， 又为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以，令， 所以， 当时，单调递增，所以， 所以，即的取值范围为． 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明； 证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明； （2）根据三角形是锐角三角形分析出的范围，结合（1）的结论求解出的范围. 【详解】（1）证法一：因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，即， 所以， 由正弦定理得，即； 证法二：因为， 所以，所以， 又因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可得，即. （2）由上可知，则，解得， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 5．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得的长，再由三角形为等腰直角三角形，即可得到结果； （2）根据题意，取线段的中点为，连接，设，由余弦定理以及正弦定理代入计算，再由辅助角公式，即可得到结果. 【详解】（1）因为，，由余弦定理可得， ， 则，且，，所以， 则的面积为. （2）   取线段的中点为，连接， 设，，因为， 由余弦定理可得，， 由正弦定理可得，，则， 因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 由可得，， 所以当时，即时，取得最大值， 所以的最大值为. 6．(1)或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【详解】（1）因为，由正弦定