2.6.2函数的极值（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.6.2函数的极值 温故知新 1.函数单调性与导数关系 设函数 在某个区间内可导，则 2.求函数单调区间的步骤 (1)求:求函数的定义域及导函数； (3)写:写出单调区间(如果导函数在定义域上 非正或非负,直接判断增减) . 注意定义域 是减函数 是增函数 (2)解:解不等式 ， ； 还记得高台跳水的例子吗？ a t h o 最高点 复习导入------导入新课 复习导入----------导入新课 2.跳水运动员在最高处附近的情况： 将最高点附近放大 a t h o 最高点 导数的符号有什么变化规律？ 对于一般函数是否也有同样的性质吗？ ＋ － 复习导入------导入新课 探究 3.(1) 如图， 在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？ c d e f o g h I j x y 复习导入------导入新课 3.(2) 如图， 在 点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？ 探究 x y o a b x y o a b >0 <0 <0 >0 极小值点 极大点 （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； 观察与思考：极值与导数有何关系？ 对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点. 函数的极值: 对于可导函数y=f(x)，若x0满足f '(x0)=0, 在 x0附近的左侧f '(x)<0，右侧f '(x)>0, 那么x0是函数f(x)的极小值点，f(x0)是函数f(x)的极小值; 在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近其他点的函数值都小,我们说x0是函数f(x)的一个极小值点，f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. f(x) 补充说明： 极值点：极小值点、极大值点统称为极值点； 极值： 极大值和极小值统称为极值. 1.极值点是自变量x的一个值. 极值 点的 理解 2.若 ① ② 在点 两侧的导数异号; 则点 叫做 函数的极值点. 当函数 的导数在点 的两侧满足“左正右负”, 则点 是函数 的极大值点, 是极大值; 当函数 的导数在点 的两侧满足“左负右正”, 则点 是函数 的极小值点, 是极小值. 极值 的 理解 o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) 增 f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0 极大值 减 f(x) <0 f(x) =0 增 减 极小值 f(x) >0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可? 思考 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点? x y O f (x)x3 f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点. f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 思考 极大值一定比极小值大吗？ 极值是函数的局部性概念 结论：不一定 极大值 极小值 极小值 √ (6)导