2024年 河北省数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义）

2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义） 考情分析 年份 题号 题型 分值 考查内容 设问形式 探究问题 2022 23 解 答 题 10 （1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标； （2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离 定抛物线性质探究： (1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标； (2)求平移的最短距离 点移动最小距离 2021 25 10 （1） 已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题； （2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式； （3）抛物线与动线段交点问题 定抛物线性质探究： (1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶 (2)求抛物线解析式，求对称轴 (3)求横坐标最大值与最小值的差 点横坐标最大值与最小值的差 2019 26 12 （1） 平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系； （2） 直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值； （3） 平均数→中点，函数图象上点的性质； （4）直线与抛物线交点个数问题 含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究： (1)求直线、对称轴、交点坐标 (2)求点与直线距离最大值 (3)求两点间距离 (4)求“美点”的个数 美点的个数 2016 26 12 （1） 反比例函数k的几何意义； （2） 抛物线与x轴交点坐标，对称轴； （3） 二次函数性质求最值，分类讨论思想； （4） 反比例函数图象与抛物线交点问题 含参抛物线（y=-(x-t)(x-t+4)）性质探究： (1)求反比例函数k的值 (2)求两点间距离，两直线间距离 (3)求最高点坐标 (4)求参数取值范围 抛物线与双曲线交点问题 2015 25 11 （1） 求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标； （2） 抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性； （3） 抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想 含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究： (1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标 (2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小 (3)求参数h值 抛物线与线段交点问题 典例精讲 例 (2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m. 例题图 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标； (3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB恰好有一个交点，求n的取值范围． (4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标. 选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想 方法总结 知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式 解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－； ②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x= 顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式； ②顶点式：直接得到顶点坐标； ③交点式：化为顶点式 求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得 1. 平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）； ②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定； 2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可； 3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分