2024年中考数学二轮复习题型突破课件：正方形中的常考题型

正方形中的常考题型 类型1　求最值 方法指导：在已知正方形的条件下，求动点运动时，相关线段或线段和差的最大值或最小值，关键是动中求静、变中找不变，利用正方形的对称性将其转化为“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解.两点之间线段最短，即三角形的两边之和大于第三边（两边重合时取最值）. 典例1 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为（　C　） 典例1图 A. B. 4 C. D. 3 C 典例2 如图，E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，P为AD的中点，连接PG，在点E运动的过程中，PG长的最小值是（　C　） 典例2图 A. 2 B. C. 2 D. 4 C 典例3 （2023·池州东至一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分别为边BC，AB上的动点，且AQ＝BP，AP与DQ交于点E，则线段BE长的最小值为 　3－3　⁠. 典例3图 3－3 类型2　十字模型 模型解读：如图①，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点.若AE⊥BF，则AE＝BF.如图②，E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上的点.若EG⊥FH，则EG＝FH. 　　　 典例4 如图，在正方形ABCD中，AE＝BF，则下列结论中，一定成立的是（　D　） 典例4图 D A. ∠BEC＝60° B. ∠CFD＝60° C. AB＝2AE D. CE⊥DF 典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边DC上一点，DE＝3，连接AE，过点D作AE的垂线，交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为（　B　） 典例5图 A. B. C. 3 D. 5 B 典例6 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，点P，Q分别在边AB，AD上，连接PF，QE交于点H，∠FHE＝90°，PF＝4.求QE的长. 解：如图，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于点N.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝90°.∵ QM⊥BC，∴ ∠QMB＝∠B＝∠A＝90°.∴ 四边形ABMQ是矩形.∴ AB＝QM.同理，可得四边形BCNP是矩形.∴ BC＝PN，PN∥BC.∴ QM⊥PN.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC.∴ QM＝PN.∵ ∠FHE＝90°，∴ PF⊥QE.∴ 易知∠MQE＝∠NPF.在△QME和△PNF中， ∵ ∴ △QME≌△PNF.∴ QE＝PF＝4. 典例6图答案 类型3　对角互补模型 模型解读：如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，如图②，过点D 作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则△DEA≌△DFC，AB＋BC＝2BF＝BD. 　　　 典例7 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　B　） 典例7图 A. 2 B. C. D. B 典例8 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF. 典例8图 解：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD.∴ ∠COD＝90°.∴ ∠DOF＋∠COF＝90°.∵ ∠EOF＝90°， ∴ ∠COE＋∠COF＝90°.∴ ∠COE＝∠DOF.∴ △COE≌△DOF.∴ CE＝DF. 类型4　半角模型 模型解读：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接EF，AG，则△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF. 典例9 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝GF. 典例9图 解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°.∵ 点G在CD的延长线上，∴ ∠ADG＝180°－∠ADC＝90°.∴ ∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵ ∴ △ABE≌△ADG. ∴ ∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠BAE＋∠DAF＝45°.∴ ∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°.在△EAF和△GAF中， ∵ ∴ △EAF≌△GAF.∴ EF＝GF. 典例9图 强化练习 1. （2023·芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E是边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，连接CF，则CF长的最小值为（　B　） A. 5 B. 5－5 C. D. 第1题 B