2024年中考数学重点专题：三角形和四边形综合

2024年中考数学重点专题：三角形和四边形综合 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF. （1）求CD的长. （2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD. （3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长. 2．如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以， 请直接写出夹角α的大小； 若不可以，请说明理由． 3．在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F. （1）求证： ； （2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长. 4．如图，在中，． （1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：． （2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由． 5．概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. （1）理解概念 如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形” （2）概念应用 如图2，在中，为角平分线，，. 求证：为的等角分割线. （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数. 6．已知：点E在线段间（如图1）．连接．． （1）求证：． （2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证． （3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数． 7．已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，， （1）　 　，　 　． （2）设的面积为，用含的式子表示S． （3）在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？ 8．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明． 9．已知：如图①，中，，，为边上的中线，过A作，交延长线于点E． （1）直接写出　 　； （2）如图②，过点C作于F．求证：； （3）在（2）的条件下，如图③，在的外部作，且满足，连接AG．若，求线段的长． 10．如图 （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是　 　． （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为　 　； （4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为　 　． 11．已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且． （1）求证：； （2）如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点． ①求证：； ②若，，，求的长． 12． 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴正半轴上，是边长为的等边三角形，点，分别在边和上，是边长为的等边三角形现将绕点顺时针旋转，得到，旋转角为，点，的对应点分别是点和． （1）如图，连接，当时，求； （2）如图，连接，，旋转过程中，当点落到轴点在点的右侧时，求的面积； （3）如图，连接，，若点，分别是，的中点，连接，，，得，是什么三角形？请说明理由；若的面积是，请直接写出的取值范围． 13．和都是以点B为顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，当边恰好在的边上时，连接，，易证，从而证明；（无需证明） （2）如图2，当和如图摆放，连接、、，其中与相交于点F．那么与的位置关