2024年中考数学重点专题：方程与不等式综合

2024年中考数学重点专题：方程与不等式综合 1．将连续的自然数1到150按图1的方式排列成一个方阵： （1）在图1中，第6行的第3个数是　 　，第20行的最后一个数是　 　； （2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数； （3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由． 2．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 3．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变． 例如： 解方程，则有，，解得，． 已知，求，的值，则有，，解得，， 根据以上材料解答下列各题： （1）若，求的值； （2）无论取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根； （3）解方程：； （4）若，，表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 4． 数轴上有、、三点，如图，点、表示的数分别为、，点在点的右侧，． （1）若，，点是的中点． 则点表示的数为　 　 ． 如图，线段在的左侧，，线段从点出发，以个单位每秒的速度向点运动点不与点重合，点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为，求的值； （2）若，点是的中点，若，试求线段的长． 5．已知是常数， ． （1）若，，求； （2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； （3）若的取值与无关，请说明． 6．对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于x的不等式：； （2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围； （3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围． 7．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y． （1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值； （2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标． 8．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足． （1）求点A的坐标； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点的坐标为，且、满足． （1）求三角形的面积； （2）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内两点，，那么、两点的距离，则． 例如：若点，，则 设在轴上，且，求点坐标． 10．在平面直角坐标系中，直线：经过点，交轴于点． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）若点是轴上一点，连结当的面积为时，求点的坐标． （3）已知线段的端点坐标分别为、． 当直线与线段有交点时，求的取值范围． 已知点是直线上一点，其横坐标为过点作直线轴，将直线在直线下方部分记作，在直线上及其上方的部分记为，将沿直线向上翻折得到，和两部分组成的图象记为当图象与线段四有一个公共点时，直接写出的取值范围． 11．如图 （1）当时，当　 　 时，有最小值，且最小值为　 　 ； （2）设，，求的最小值，并指出当取得该最小值时对应的的值； （3）在平面直角坐标系中，点，点点是函数在第一象限内图象上的一个动点，过点作垂直于轴，垂直于轴，垂足分别为点，设点的横坐标为，四边形的面积为求和之间的函数关系式，并判断出当的值最小时，说明四边形是何特殊四边形． 12．照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号照明灯共只，这两种照明灯的进价、售价如下表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号照明灯 乙型号照明灯