2024年九年级中考数学复习讲义5：一元二次方程

中考数学复习5：一元二次方程 知识集结 知识元 一元二次方程 知识讲解 一元二次方程的概念 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程. 2.一般形式：任何一元二次方程都可以整理为下面的形式：. 3.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 一元二次方程的解法 1.解一元二次方程的基本思想：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程. 2.具体方法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法. 方法一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法. 用直接开平方法解形如 ※对于，等形式均适用直接开方法. 方法二、配方法 基本步骤 : (1)先将常数c移到方程右边 (2)将二次项系数化为1 (3)方程两边分别加上一次项系数的一半的平方 (4)方程左边成为一个完全平方式. ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或最值之类的问题. 方法三、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根. (1)条件：⑵公式：, 方法四、因式分解法: 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法， ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如， ， ※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法. 3.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式为： 当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根； 当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根； 当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根； 一元二次方程的实际应用 1.建模思想：学习依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法. 2.基本类型:①平均变化率；②几何问题；③销售问题；④握手问题. 例题精讲 一元二次方程 例1. （2022∙巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0，求m的值． 例2. （2022∙徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？ 例3. （2022∙贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？ 例4. （2022∙黄石）已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值． 例5. （2022∙东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 例6. （2022∙枣庄）已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________． 例7. （2022∙泰安）已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____。 例8. （2022∙上海）如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是_____． 例9. （2022∙赤峰）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（　） A．400（1+x2）=900 B．400（1+2x）=900 C．900（1-x）2=400 D．400（1+x）2=900 例10. （2022∙鄂州）关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的