专题二十四与切线的性质判定有关的计算证明-2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第六章 圆 专题二十四 与切线有关的计算与证明 一、考点精讲 1.切线的判定 （1）定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 （3）判定定理：经过半径外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。 注意：（1）若已知直线与圆的公共点，则连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直。即：有交点，连半径，证垂直。（判定定理） （2） 若未知直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径的长。即：无交点，作垂直，证相等。（数量关系） 2. 切线的性质 （1） 圆的切线与圆只有一个公共点。 （2） 圆心到切线的距离等于半径。 （3） 圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：过圆心垂直于切线的直线经过切点；过切点垂直于切线的直线过圆心。 3. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线的长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 4. 三角形的内切圆 （1） 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 （2） 三角形的内心：三角形三内角的平分线的交点。 （3） 三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等。 （4） 拓展：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和减去斜边的一半。即Rt△ABC中，∠C=90°,三边a、b、c，内切圆半径r，则 r=. 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查题型有选择题、填空题、解答题，主要考查切线的判定与性质，利用切线的判定与性质的证明与计算，在命题点下拓展其他新的考查形式。从山西近8年真题分析，八年八考，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生思维认知能力的考查。 命题点；与切线有关的证明与计算 1．（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 2．（2021·山西·统考中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2016·山西·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB为圆O的直径，与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，， 的长为（ ） A． B． C． D． 4．（2018·山西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ． 5．（2020·山西·统考中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 6．（2017·山西·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D． （1）若AC=4，BC=2，求OE的长． （2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由． 创新考法 7．如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为的正方形空地，点O在边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交于点N．以为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（　　）． A．1000 B．140 C．800 D． 8．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 9．（1）请用尺规过外一点P做的一条切线，切点为D．（保留做图痕迹） （2）如图，与相切于点，直径的延长线与交于点，点是劣弧上一点，的延长线与的延长线交于点，且分别交于点．依次连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； ③若，求； ④若半径为，则阴影部分面积为______（结果保留） 10．阅读与思考 下面是小欣同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期一      晴 尺规过圆外一点作圆的切线 在今天的数学课上，我们学习了“直线和圆的位置关系”这一讲，梅老师结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》布置了一道课后题：已知及外一点