2024年中考数学专题复习：平行四边形的动点问题

2024 年中考九年级数学专题复习:平行四边形的动点问题 1.如图1,在中,,,.点是射线上一动点,作的外接圆. (1)若圆心在边上,如图2,则此时的长为_; (2)当与的某一边所在的直线相切时,求此时的长; (3)随着点的运动,与的边的公共点的个数有哪些变化?直接写出对应的长的值或取值范围. 2.基础运用 (1)如图1,在正方形中,对角线和交于点,点是线段上的一个动点,且不与点和点重合. 连接和,将线段绕点旋转,点恰好落在边上的点处,点不与点重合. ①求证:; ②求证: 创新探究 (2)如图2,在菱形中,,对角线和交于点,点是线段上的一个动点,且不与点和点重合. 连接和,将线段绕点旋转,点恰好落在边延长线上的点处.求证:. 3.如图,在矩形中,是对角线,,.动点从点出发,沿折线以每秒4个单位长度的速度向点运动;与此同时,动点从点出发,沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动,当其中一点到达终点时,、两点同时停止运动,以和为邻边作平行四边形.设点的运动时间为秒(). (1)用含的代数式表示线段的长为_. (2)_. (3)当与平行四边形重合部分是四边形时,求的取值范围. (4)当直线将平行四边形分成两部分的面积比为时,直接写出的值. 4.如图1,在矩形中,,E是边的中点,P(与点B,C不重合)是边上一动点,连接延长交的延长线于点Q. (1)求证:. (2)当时,求的长. (3)如图2,分别取的中点连接,当时,求的长和的面积. 5.在中,,点是边上一动点(点不与点、重合),连接. (1)如图1,若,求的长; (2)如图2,将线段绕点顺时针旋转至位置,连接,过点作的垂线交于点,求证:; (3)如图3,以为直角顶点,在下方作直角,点为的中点,连接,点为的中点,连接,若,直接写出的取值范围. 6.如图,已知矩形中,,,点O是边的中点,点E是矩形内一个动点,且. (1)当时,连接、,直接写出的度数; (2)当时,连接,若,求的长; (3)当时,将线段绕点D逆时针旋转后,得到线段,点P是线段的中点,当点E在矩形内部运动时,求点P运动路径的长度. 7.如图,中,,,点O是的中点,动点P从点A出发沿折线以每秒2个单位长度向终点C运动,连接,作点A关于直线的对称点,连接、.设点P运动的时间为t秒. (1)的面积为_; (2)用含t的代数式表示线段的长; (3)当时,求t的值; (4)当点在的内部时,直接写出t的取值范围. 8.如图,在中,,点D为边的中点.动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动,同时动点Q从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动,当点P与点D、C不重合时,以为邻边作,设点P的运动时间为t秒. (1)用含t的代数式表示线段的长; (2)当线段被边平分时,求t的值; (3)设的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出时t的值. 9.如图,在正方形中,,点O是对角线的中点,动点P、Q分别从点A,B同时出发,点P以的速度沿边向终点B匀速运动,点Q以的速度沿折线向终点D匀速运动,连接并延长交边于点,连接并延长交折线于点N,连接,,,,得到四边形.设点P的运动时间为,四边形的面积为. (1)的长为_,的长为_.(用含x的代数式表示) (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 10.如图,在矩形中,,,点M是的中点.动点P从点A出发,沿以每秒4个单位长度的速度向终点D运动,同时动点Q从点D出发,沿以每秒个单位长度的速度向终点C运动,连结,以为邻边作平行四边形,过点N作垂直直线,垂足为点E.设点P的运动时间为t秒. (1)_.(用含t的代数式表示) (2)当平行四边形是矩形时,t的值为_. (3)在P、Q的运动过程中线段始终与线段相等,请说明理由. (4)当平行四边形被矩形某一边所在直线分成两部分的面积比为时,直接写出t的值. 11.如图所示,在直角梯形中,,.动点从点出发,沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点同时从点出发,在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动,当点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为(秒). (1)设的面积为,求与之间的关系式; (2)当为何值时,以点为顶点的四边形是平行四边形? (3)分别求出当为何值时,①;②. 12.如图,在中,,,, 点是上的动点,过作于,再过作,交于.设,. (1)求与的函数关系式; (2)当四边形为菱形时,求的值; (3)当是直角三角形时,求的值. 13.如图1,在平面直角坐标系中,正方形的顶点在坐标原点,点G的坐标为. (1)求的长及F点的坐标; (2)将图1正方形绕O点旋转至图2位置,使点E在x轴负半轴上,以为腰作等腰,B为中点,与交于C,D为中点,连,求证:线段的长为定值; (3)如图3,正方形对角线上的两个动点M,