2024年中考数学专题复习：四边形证明题（基础题）

2024年九年级中考数学专题复习:四边形证明题(基础题) 1.已知,是的角平分线,交于点E,交于点F,求证:四边形为菱形. 2.如图,点、是平行四边形对角线上两点,. (1)求证:四边形是平行四边形; (2)若,,,求平行四边形的面积. 3.如图,中,,是的角平分线,点为的中点,连接并延长到点,使,连接,. (1)求证:四边形是矩形; (2)当满足什么条件时,矩形是正方形,并说明理由. 4.如图,在中,点F是边的中点,连接、. (1)求证:; (2)若,则四边形是什么特殊四边形?请说明理由 5.如图,在中,,延长到点E,使过点E作交的延长线于点F,连接. (1)求证:四边形是平行四边形; (2)若,直接写出的长. 6.如图,是正方形边上一个动点E(不与重合),是延长线上一点,且,连接. (1)求证:为等腰直角三角形. (2)过点作的垂线,与直线分别交于两点,记交于点. ①当,求线段的长. ②设的面积记作的面积记作,用含的代数式表示. 7.如图,在菱形中,,,点是边的中点.点是边上一动点(不与点重合),延长交射线的延长线于点,连接,. (1)求证:; (2)当点在什么位置时,四边形是矩形?请证明你的结论. 8.如图,在平行四边形中,点E在边上,且,F为线段上一点,且. (1)求证:; (2)求证:; (3)若,,,求. 9.如图,在正方形中,点是边上一点(不与点重合),过点作于点,交延长线于点. (1)求证:. (2)点从点向点运动过程中,设,,求与的函数表达式,并写出自变量的取值范围. 10.已知:如图,点为对角线的中点,过点的直线与分别相交于点.求证: (1); (2). 11.如图,在中,、分别为边、的中点,是对角线,交的延长线于点. (1)求证:; (2)若,判断四边形形状,说明理由. 12.如图,中,过点作,交的延长线点;过点作,交的延长线于点,交于点,连接,. (1)求的长; (2)求证:四边形为菱形. 13.如图,在四边形中,,平分,,为中点,连结. (1)求证:四边形为菱形; (2)若,,求的面积. 14.如图,已知菱形,,E、F分别是、的中点,连接、. (1)求证:四边形是矩形; (2)若,求菱形的面积. 15.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究. 如图1,将矩形纸片折叠,使点C的对应点始终落在对角线上,点B的对应点记为,折痕与边分别交于点E,F. 【初步感知】 (1)如图2,当点与A重合时,连接,四边形是哪种特殊的四边形,并证明; 【深入探究】 (2)如图3,当,,点,,D在同一条直线上时,求的长. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.证明:∵,, ∴四边形是平行四边形,, ∵是的角平分线, ∴, ∴, ∴, ∴四边形为菱形. 2.(1)证明:平行四边形中,,, , 又, , 在和中, , , , 又, 四边形是平行四边形; (2)解:过点作,交的延长线于, 在中,,, , , 平行四边形的面积. 3.(1)证明:∵点为的中点,, ∴, ∴四边形是平行四边形, ∵,是的角平分线,, ∴, ∴, ∴平行四边形是矩形; (2)当时,矩形是正方形. 理由:∵,是的角平分线, ∴是边的中线,即, ∵, ∴, ∴, ∵由(1)得四边形是矩形, ∴矩形是正方形. 4.1)证明:∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴, ∵点F是边的中点, ∴, 在和中,, ∴, ∴; (2)解:四边形是矩形.理由如下: ∵,, ∴四边形是平行四边形, ∴,, ∵四边形是平行四边形, ∴, ∵, , ∴, ∴, ∴, ∴四边形是矩形. 5.(1)证明:∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形; (2)解:由(1)可知,四边形是平行四边形, ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴ 6.(1)证明:四边形是正方形, ,, , 在和中, , , ,, , 为等腰直角三角形. (2)解:①为等腰直角三角形, , 又, ,为等腰直角三角形, 在和中,,, , 在中,, , , 为等腰直角三角形, ; ②,, , , , 为等腰直角三角形, , , 正方形中, ,, , , 与的相似比为k, 与的面积比为, . 7.(1)∵四边形是菱形, ∴, ∴, ∵点是边的中点, ∴, 在和中, , ∴, (2)在中点时,四边形是矩形,理由, 由()得:, ∴, ∵,, ∴四边形是平行四边形, ∵四边形是菱形, ∴, ∵平行四边形是矩形, ∴, 即, ∵, ∴, ∴, 即在中点时,四边形是矩形. 8.(1)证明: ∵四边形是平行四边形, ∴; ∵,, ∴; (2)证明:∵四边形是平行四边形 ∴, ∴, 由(1)知:, ∵, ∴; (3)解:∵, ∴; ∵, ∴, ∵, ∴;