2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与相似三角形有关的问题）

2024年九年级中考数学专题复习： 二次函数的综合（与相似三角形有关的问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于，两点， (1)求a，b的值； (2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 2．如图，抛物线经过三点． (1)求拋物线的函数表达式； (2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、，设关系式为．若，，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，于点E． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点D位于直线下方时，求长度的最大值； (3)当与相似时，求m的值． 4．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 5．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值． (3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．    (1)直接写出以下各点坐标： ______，______，______，______． (2)若点为轴上方抛物线上一点，过点作轴的垂线，垂足为，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 7．如图1，已知二次函数经过、，并交轴于另一点，点是线段上的动点，过、两点的直线与抛物线在第四象限相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当取最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点，使，求出所有点的坐标； (4)如图3，过点作轴于点，以为对角线作正方形，当顶点恰好落在抛物线上时，请直接写出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 9．如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 10．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上的一动点，点D是的中点，设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点B作，交y轴于点E，连接，当的面积为10时，求点P的坐标； (3)当是锐角三角形时，直接写出n的取值范围． 12．如图，抛物线经过两点，与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式： (2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接． ①如图1，若时，求的值： ②如图2，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由． 13．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 14．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． (1)求抛物线和直线的函数表达式： (2)过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图1，抛物线与轴交于、两点且，与轴交于点．