2024年九年级中考数学解答题专题复习：三角形综合解答题（基础篇）

2024年九年级中考数学解答题专题复习： 三角形综合解答题（基础篇） 1．如图，在中，D为的中点，于E，于F，且 (1)求证：； (2)若，求的面积. 2．如图，中，是中线，将旋转后与重合．问：    (1)旋转中心是哪个点？旋转了多少度？ (2)如果，求中线长的取值范围． 3．如图，在中，，点是上一点，于点，于点． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 4．已知和都是等腰直角三角形，且． (1)如图1，点D在内，求证：； (2)如图2， A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积； (3)如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值． 5．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿向点A移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点A出发，沿向点O移动，设P、Q移动t秒（）． (1)求的长； (2)在P、Q两点移动的过程中，当t为何值时，与相似？ (3)若四边形的面积与的面积之比为，求t的值． 6．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 7．如图1，在中，，，点和点是边上两点，连接，得到是一个等边三角形． (1)求证：； (2)将等边绕点旋转至如图2所示的位置，点仍然在边上，点落在边外，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长度． 8．在中，，点P为线段上任意一点（P与B，C不重合），连接． (1)若，， ①求的最小值． ②当时，求的长． (2)若，，请用含m，n的代数式表示，并说明理由． 9．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：； (3)在（2）的条件下若、、三点共线，求此时的度数及点坐标．（直接写出答案，无需写解答过程） 10．在中，，为的角平分线，点E是边的中点．过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H． (1)求证：； (2)探究：在线段上是否能找到一点P，使得．如果能够，请找出并证明之； (3)证明：． 11．如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且，点C为x轴上点B右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交y轴于点P． (1)求证：． (2)求证：． 13．在中，于点D，， (1)如图1，求证∶； (2)如图2，E是上一点，F是延长线上一点，连接，求证∶； (3)如图3，在（2）的条件下，作交AC于点G，若，求的长． 14．如图，在中，，点为所在平面内一点，连接，． (1)作（点A，，按逆时针排列），使，． ①如图1，若点为内一点，连接．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明； ②如图2，若，点为线段上一点，判断，，之间的数量关系并证明； (2)若，，，，求的长． 15．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，连接、，延长交于点，求证：，； （2）类比探究：如图2，和都是等腰直角三角形，即，，，则与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：若和都是等腰三角形，且，，，请直接写出线段和的数量关系及它们所在直线的夹角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：∵ ∴ ∵D为的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接， ∵为的中线 ∴ ∵ ∴ ∴ 2．（1）解：∵旋转后与重合， ∴旋转中心是点，旋转了180度； （2）∵将旋转后能与重合， ∴， 在中，由三角形的三边关系得，， ∵， ， 即， ∴， 即中线长的取值范围是：． 3．（1）证明：如图，连接， ， ，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 4．（1）证明：如图1，延长交于H， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点C作于N， 由（1）可知：，， 是等腰直角三角形，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 的面积； （3）解：由（1）可知：， 的周长， 有最小值时，的周长有最小值， 当时，有最小值， 是等腰直角三角形，， ， 周长的最小值为． 5．（1）解：∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，当或时，与相似； （3）解：如图所示，过点P作于H，则， ∴， ∴，即， ∴， ∵，四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 6．（1）解：，平分， 是的一个外角， . （2）证明：如图，过点E作于点F，    平分，，