重难点4-1 平面向量的最值与范围（4题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点4-1 平面向量的最值与范围 平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值。在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。 【题型1 向量数量积的最值与范围】 满分技巧 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算； （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理； （3）利用极化恒等式来处理。 【例1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ） A．6 B．3 C． D． 【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）已知过点且与圆相切的两条直线的夹角为，再过点作直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A．0 B．8 C． D．16 【题型2 向量模长的最值与范围】 满分技巧 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直. 【例2】（2023·云南昆明·高三统考期中）向量在向量上的投影向量为，则的最大值为 ． 【变式2-1】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为 A． B． C． D．5 【变式2-2】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，，，，，则的最大值为（ ） A． B．4 C． D． 【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C．, D．, 【题型3 向量夹角的的最值与范围】 满分技巧 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。 【例3】（2023·高三课时练习）已知向量、满足，，且，则与的夹角的取值范围是 . 【变式3-1】（2023·广东清远·高三校联考阶段练习）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·重庆沙坪坝·高三凤鸣山中学校考期中）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 . 【变式3-4】（2023·上海·高三大同中学校考期中）已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ． 【题型4 向量系数的最值与范围】 满分技巧 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解。 （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。