专练3 与圆的性质有关的证明与计算-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·分层作业本

分层作业本·安徽数学 第 六 章 圆 专练 3　 与圆的性质有关的证明与计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. (2023 合肥第五十中学模拟)如图,在☉O 中, AC⊥BC,延长 BC 到 D,使 DC = BC,连接 AD 交☉O 于点 E,连接 CE,BE. (1)求证:EC = BC; (2)若 AD = 5,BD = 6,求 BE 的长. 第 1 题图 (1)证明:∵AC⊥BC,∴∠ACB =90°, (2)解:∵CD =BC,BD =6,∴CD = 12 BD =3, ∵∠ACD =180° -∠ACB =90°,AD =5, ∴AC = AD2 -CD2 = 52 -32 =4, ∵sin∠BDE = sin∠ADC,∴BEBD = AC AD,∴ BE 6 = 4 5 , ∴BE =245 . 2. (2023 合肥市瑶海区一模)如图,△ABC 是 ☉O 内接三角形,AC 是☉O 的直径,点 E 是弦 DB 上一点,连接 CE,CD. (1)若∠DCA =∠ECB,求证:CE⊥DB; 第 2 题图 (2) 在(1) 的条件下,若 AB = 6,DE = 5,求 sin∠DBC. (1)证明:如解图,连接 AD, ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ADC =90°, ∴∠DAC +∠ACD =90°, ∵∠DCA =∠ECB,∠CAD =∠CBD, ∴∠BCE +∠CBE =90°,∴∠BEC =90°, ∴CE⊥BD; (2)解:∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC =90°, 3. 如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,点 O 在 BD 上,以点 O 为圆心的圆恰好经过 A,B,C 三点, ☉O 交 BD 于 E,交 AD 于 F,且AE ( = CE ( ,连接 OA,OF. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若∠AOF = 3∠FOE,求∠ABC 的度数. 第 3 题图 (1)证明:∵AE ( =CE ( ,∴∠ABD =∠CBD, ∵AB∥CD,∴∠ABD =∠CDB, ∴∠CBD =∠CDB,∴CB =CD, ∵BE 是☉O 的直径,AE ( =CE ( ,∴AB ( =BC ( , ∴AB =BC =CD, ∵AB∥CD,∴四边形 ABCD 是菱形; (2)解:∵∠AOF =3∠FOE, 设∠FOE = x,则∠AOF =3x, ∴∠AOD =∠FOE +∠AOF =4x,∴∠ABE =2x, ∴∠ABC =2∠ABE =4x, ∵OA =OF,∴∠OAF =∠OFA = 12 (180° -3x), ∵OA =OB,∴∠OAB =∠OBA =2x, 由(1)知四边形 ABCD 是菱形, ∴BC∥AD,∴∠ABC +∠BAD =180°, ∴4x +2x + 12 (180° -3x) =180°,解得 x =20°, ∴∠ABC =4x =80°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 分层作业本·安徽数学 第 六 章 圆 4. (优质原创)如图,△ABC 内接于☉O,∠ABC > 90°,△ABC 的外角∠EAC 的平分线交☉O 于点 D,连接 DB,DC,DB 交 AC 于点 F. (1)求证:△DBC 是等腰三角形; (2)若点 B 是AC ( 的中点,BC = 6,DC = 9,求 BF 的长. 第 4 题图 (1)证明:∵四边形 ABCD 内接 于☉O, ∴∠BCD +∠BAD =180°, ∵∠DAB +∠EAD =180°, ∴∠EAD =∠BCD, ∵AD 平分∠EAC, ∴∠EAD =∠CAD, 又∵∠CAD =∠CBD,∴∠BCD =∠CBD, ∴DB =DC,∴△DBC 是等腰三角形; ∴BC2 =BD·BF,由(1)知 DB =DC, ∴BC2 =DC·BF,即 62 =9BF, ∴BF =4. 5. 如图,在☉O 中,AB 是☉O 的直径,CD⊥AB, 交 AB 于点 E,点 F 是☉O 上一点,连接 DF 交 AB 于点 G,连接 BF 且 ∠BFD = 60°,连接 AD,CF. (1)求证:FD 平分∠BFC;