6.2 垂径定理及其应用-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·基础夯实练

基础夯实练·安徽数学 命题点 2　 垂径定理及其应用(10 年 6 考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 要点归纳 1. 垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径①　 平分　 弦,并且②　 平分　 弦所对的两条弧; 图 1 (2)推论:平分弦(不是直径)的直径③　 垂直　 于弦,并且④　 平分　 弦所 对的弧. “知二推三”———如图 1,根据圆的对称性,有以下五个结论:①CD 是☉O 的直径; ②AB⊥⑤　 CD 　 ;③AE = ⑥　 BE 　 ; ④ AC ( = BC ( ;⑤AD ( = ⑦　 BD ( 　 . 只要满足其中两个,另外三个结论一定成立􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 2.垂径定理的应用 (1)过圆心作弦(非直径)的垂线,连接圆心和弦的一个端点(即半径),构造直角三角形,运 图 2 用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算. (2)确定一条弧所在圆的圆心 如图 2,确定AB ( 所在圆的圆心. 作法:在AB ( 上取一点 C, 连接 AC,BC,作 AC,BC 的垂直平分线,两条垂直平分线 的交点即为AB ( 所在圆的圆心. (3)求圆内两条平行弦间的距离时,需要分情况讨论: 已知弦 AB、弦 CD、☉O 的半径长,若 AB∥CD,求两条弦之间的距离 d 情况一:当两条弦位于圆心同侧时 情况二:当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理,在 Rt△OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d = OF - OE 利用勾股定理,在 Rt△OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d = OF + OE (4)点在圆上运动时,相关计算需要分情况讨论: 如图,根据圆的轴对称性,☉O 上到直径 AB 距离相等的点(0 < d < r)的个数为 4,设☉O 的 半径为 r,OD = m,CD = h 情况一:当点 D 在圆心左侧时 情况二:当点 D 在圆心右侧时 AD = r - m,AC2 = ( r - m) 2 + h2 AD = r + m,AC2 = ( r + m) 2 + h2 501 基础夯实练·安徽数学 随堂练习 (人教九上 P83 练习 1 改编)如图,☉O 的直径 AB 为 10 cm,弦 CD⊥AB,垂足为点 E,连接 OC, OD,AC. (1)有以下结论:①CE =DE,②OE =BE,③AC ( =AD ( ,④CB ( =DB ( .其中正确的是 　 ①③④　 ;(填序号) (2)若∠AOC = 120°,则∠COD = 　 120　 °,∠ODC = 　 30　 °; (3)若 CD = 8 cm,则 CE = 　 4　 cm,OE = 　 3　 cm,BE = 　 2　 cm, tan∠OCE = 　 　 　 　 ; (4)若将☉O在 CD下方部分向上翻折,劣弧 CD恰好经过圆心 O,则 CD的长为　 5 3　 cm. (5)(较难 ∙∙ ,分类讨论 ∙∙∙∙ ) 若弦 MN∥CD,CD = 6 cm,MN = 8 cm,则 MN 与 CD 之间的距离为 　 1 或 7　 cm. (6)(较难 ∙∙ ,分类讨论 ∙∙∙∙ )若MN是☉O的弦,MN⊥AB 且MN =8 cm,则 AM的长为　 2 5或4 5　 cm. 命题点 3　 圆周角定理及其推论(必考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,知道同弧(或等弧) 所对的圆周角相等. 了解并 证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;直径所对的圆周角是 直角,90°的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补. 要点归纳 1. 圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角